3.14. Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние от которой до точек графика стремится к нулю при удалении их от начала координат.

Классификация асимптот:

1. Наклонная асимптота

y=kx+b, (7.13)

где .

2. Горизонтальная асимптота

y=b, (7.14)

получается из (3.12) при k=0.

3. Вертикальная асимптота

x=a, (7.15)

если

y

y=ƒ(x)

y=kx+b

0 x=a x

Рис. 7.10 Асимптоты графика функции.

Примеры:

7.32 Найти асимптоты графиков функций.

а) .

Решение: Вертикальная асимптота x = 5, т.к. .

б) .

Решение:

1. Вертикальная асимптота

x = 4, т.к. ; ;

2. Наклонная асимптота y=kx+b

;

Итак, y = x+4 - наклонная асимптота.

Упражнение: Найти асимптоты графиков функций.

7.33 а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7.15 Общая схема исследования функции и построения её графика

1. Элементарные исследования (область определения, четность-нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат).

2. Непрерывность.

3. Асимптоты.

4. Интервалы монотонности, экстремум.

5. Выпуклость, вынутость, точки перегиба.

6. График.

Пример:

7.34 .

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

1. Элементарные исследования. Область определения функции:

; ; ƒ(-x) ≠ƒ(x); ƒ(-x)≠-ƒ(x).

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения), непериодическая, точка пересечения с осью (oy): x=0, ; .

Точка пересечения с осью (ox): x³+9x²+15x-9=0 , кубическое уравнение не всегда может быть решено.

Точки пересечения с осью (ox) могут быть построены приближенно.

2. Непрерывность:

Функция непрерывна в каждой точке области определения.

3. Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y=kx+b,

,

следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.

4. Интервалы монотонности, экстремум.

Находим производную:

.

Критические точки первого рода

ƒ′(x) = 0 => x²+6x+5=0 => x₁=-5; x₂=-1.

Знак ƒ′(х):

+ - +

x

Итак, функция ƒ-возрастающая на интервалах , т.к. ƒ′(х)>0 на этих интервалах; функция убывающая на , т.к. ƒ′(х)<0, граничные точки включены в интервалы, т.к. функция в них непрерывна;

х = -5 – точка максимума, т.к при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(-5) = 4, точка графика A₂(-5;4);

x = -1 – точка минимума, т.к при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(-1) = -4; точка графика A₃(-1;-4).

5. Выпуклость, вынутость, точки перегиба.

Находим вторую производную:

.

Критические точки второго рода:

ƒ′′(x)=0 => x+3=0; x=-3.

Знак ƒ′′(х):

- +

x

График функции выпуклый на , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на, т.к. ƒ′′(х)>0;

х=-3 – абсцисса точки перегиба; ƒ(-3)=0; А₄(-3;0) – точка перегиба.

6. С учетом результатов исследования построим график функции

(рис. 7.11)

Рис. 7.11 График функции

Пример:

7.35

Исследовать функцию, построить ее график.

1. Элементарные исследования.

Область определения .

Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения), непериодическая; точки пересечения с осями:

(oy): x=0 => y=-2, M₁(0;-2);

(ox): y=o => x²-2x+2=0 – нет корней, точек пересечения с осью (ох) нет.

2. Непрерывность.

Функция непрерывна на ;.

3. Асимптоты:

а) вертикальная х=1, т.к ;

;

б) наклонная y = kx+b

; .

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение y=x-1

4. Интервалы монотонности, экстремум.

Находим производную:

.

Критические точки первого рода:

y′ = 0 => x²-2x = 0 =>x₁ = 0, x₂ = 2.

Знак производной:

+ - - +

x

0 1 2

Функция возрастающая на каждом из интервалов , т.к ƒ′(х)>0; функция убывающая на, т.к. ƒ′(х)<0;

x = 0 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(0)=-2, точка графика М₁(0;-2);

х = 2 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(2)=2, точка графика М₂(2;2).

5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Вторая производная:

.

Критических точек второго рода нет.

Знак второй производной ƒ′′:

- +

x

График функции выпуклый на , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на, т.к. ƒ′′(х)>0 на этом интервале.

6. Строим график функции.

Сначала проводим асимптоты и отмечаем точки М₁ и М₂ (рис. 3.12)

y

x=1

М₂ y=x-1

2

x

0 1 2

-1

M₁

Рис. 7.12 График функции