7.3 Вычисление производной по определению

Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке , необходимо:

1. вычислить значение функции в фиксированной точке :

f().

2. задать приращение аргумента х; получить точку+х, вычислить значение функции в ней:

+хf(+х);

3. найти приращение функции:

f=f(+х)-f();

4) вычислить отношение :

;

5) найти предел полученного отношения при х0:

==.

Пример:

7.1 Производная постоянной.

Пусть f(x)=C, c=const. Найти .

Решение.

1. Фиксируем ; вычисляем значение функции в этой точке:

= С; С;

2) задаем приращение аргумента х, получаем точку+х, вычисляем значение функции в ней:

+х f(+х)=С;

3) находим приращение функции:

f = f(+х)-f()=С-С=0;

4) вычисляем отношение:

5) находим предел:

=

Итак , =0.

7.2 Производная линейной функции.

Пусть f(x)=kx+b; к, b – постоянные. Найдем .

Решение.

Без комментариев проведем дифференцирование по шагам 1-5:

1)  f()=k+b;

2) +хf(+х)=k(+х)+b;

3) f=f(+х)-f()=k(+х)+b-( k+b)= k+kх-k=kх;

4)

5) =

Итак, =k; т. к. - фиксированная, но произвольная точка, то получим для любого х:

.

Упражнение:

7.3 Найти производные функций по определению.

а) f(x)=; б)h(x)=; в)(x)=; г)p(x)=.

7.4 Правила вычисления производной

I. Производная суммы функций.

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

Доказательство. Рассмотрим две дифференцируемые в точке функции. Найдем производную функцииf(x)= в точкепо шагам 1-5:

1)  f()=;

2) +хf(+х)=U(+х)+V(+х);

3) f=f(+х)-f()=U(+х)+V(+)-(U()+V())=(U(+х)-U())+(V(+х)-V())=U+V;

4) ;

5) ==+=.

Итак, =.

Аналогично для произвольной точки х из области дифференцируемости функций имеем:

= (7.3)

Задания: 1) Дайте словесный комментарий каждого шага 1-5; 2) почему возможны равенства в п. 5?

II. Производная произведения дифференцируемых функций вычисляется по формуле.

(7.4)

Следствие:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

III. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

(7.5)

Формулы (7.4.), (7.5.) доказываются аналогично (7.3.)

Упражнение:

7.4 Используя правила вычисления производной, найдите производные следующих функций:

а) f(x)=; б)h(x)=; в)(x)=; г)p(x)= .

Сравните метод решения с использованным в упражнении 3.1.

7.5 Найти производные функций:

а) 2х;

б) ;

в)

г) (х+1)(;

в) (х+1)(;

г) ;

д) .

7.5 Производная сложной функции

Пусть функция y = g(x), x є (а;b), имеет производную в точке х₀ є (а;b), а функция z= γ(y) определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке y₀= g(x₀). Тогда сложная функция ƒ(х)=γ(g(x)) имеет производную в точке х₀, которая вычисляется по формуле:

ƒ´(х₀) = γ´(y₀) g´(x₀), (3.6)

или, опуская значения аргументов: