7.9 Касательная к графику функции
Пусть М, М0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)
T М´
М0 М L
Рис. 7.2. Касательная к кривой
Прямая (ММ0) называется секущей кривой L.
Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М0 . Если секущая стремится занять предельное положение (М0Т), то прямая (ТМ0) называется касательной к кривой L в точке М0.
Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).
y
M(x;y)
y0
M0(x0;y0)
β α
0 х0 x x
На
рис. 7.3: если (М0М)
– секущая,
- угловой коэффициент секущей, тогда
;
.
Пусть х стремится к х0, тогда точка М стремится по кривой L к М0. Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х0, то
Таким
образом, производная функции ƒ(х) в
точке х0
равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции в точке
Уравнение
прямой с угловым коэффициентом
имеет
вид:
y = kx+b или y=ƒ’(х0)∙x+b.
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М0. Подставляем координаты точки М0 (х0 ;ƒ(х0)) в уравнение касательной :
ƒ(х0) = ƒ′(х0)∙х0+b,
откуда
b = ƒ(х0)- ƒ′(х0)∙ х0
Уравнение касательной принимает вид:
y =ƒ′(х0)∙(x- х0)+ƒ(х0) (3.8)
Пример:
7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х0=1.
Решение: Имеем ƒ(х0)=х²0; ƒ(х0)=1 при х0=1; ƒ′(х0)=2∙ х0; ƒ′(х0)=2 при х0=1.
Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.
Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х0:
7.25 а) y=x3; х0=1;
б)
; х0=1;
в)
; х0=4
г) y=x²-2x+5; х0 =0,5
7.10 Применение производной к приближенным вычислениям
По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х0 имеем:
При достаточно малых ∆x получаем:
,
Тогда
(7.9)
Представляем приращение функции в виде
С
учетом формулы (7.9)
или
(7.10)
Пример:
7.26 Вычислить
приближенно
.
Решение: Воспользуемся формулой (3.10 )
Рассмотрим
функцию
точку х0
=27 и приращение аргумента ∆x=0,03
Значение функции в точке х0 :
.
Производная:
.
Значение производной в точке х0=27:
Подставляем полученные значения в (3.10), получаем приближенное значение функции
.
Упражнения:
7.26 Вычислить приближенные значения функций:
а)
;
б)
;
в) sin30˚30′;
г) lg10,01;
д)
;
е) 
.
7.12 Применение производной к исследованию функций
Функция называется возрастающей на (a;b) , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
(7.11)
Функция называется убывающей на (а;b) , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
(7.12)
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)
Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).
Доказательство.
Пусть x>
х0,
тогда ƒ(х)>ƒ(х0).
Поэтому x-
х0>0
и
.
Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х0, получим
Теорема доказана.
y
y
y=2x ƒ′(x)>0
0 x x
Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной
Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).
Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).
Пример:
7.27 Найти
интервалы монотонности функции
.
Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:
Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:
- + -
х
ƒ′(х)
>0 при хє
,
следовательно ƒ(х) возрастающая
на этом интервале;
при
или
,
следовательно ƒ(х) убывающая
на этих интервалах. Границы интервалов
могут быть включены в интервалы
монотонности, т. к. функция непрерывна
в этих точках. Можно записать:
;
Т
очка
х0
называется точкой минимума функции ƒ,
если найдется такая окрестность точки
х0
, что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
y y
ƒ(x)
ƒ(х0) ƒ(х0)
( х0 ) ( x х0 )
0 х0-ε х0+ε x 0 х0-ε х0+ε x
Рис. 7.5 Точки минимума функции
Точка
х0
называется точкой максимума функции
ƒ, если найдется такая окрестность точки
х0,
что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
.
y
y
ƒ(х0)
ƒ(х)
ƒ(х0)
( ) ) ( )
0 х0-ε х0 х0+ε x 0 х0-ε х0 х0+ε x
Рис. 7.6 Точки максимума функции
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.
Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х0)=0
Теорема
(Достаточное условие максимума) Если
функция ƒ непрерывна в точке х0,
а ƒ′(х)>0 на интервале
и ƒ′(x)<0
на интервале
,
то точка х0
является точкой максимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х0 – точка максимума функции ƒ.
Теорема
(Достаточное условие минимума). Если
функция ƒ непрерывна в точке х0,
ƒ′(x)
на интервале
и ƒ′(x)>0
на интервале
,
то точка х0
является точкой минимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х0 - точка минимума функции ƒ.
Пример:
7.27 Найти
точки экстремума функции
.
Решение.
Найдем производную:
.
Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х1=-1;х2=+1).
Знак производной:
- +
-
х
х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+».
х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-».
Упражнения:
7.28 Найти интервалы монотонности функции:
а) ƒ(x)=5x-2;
б)
;
в) ƒ(x)=x²+x-1;
г) ƒ(x)=7x²+14x+1;
д)
;
е)
.
7.29. Найти экстремумы функций:
а) ƒ(x)=1+4x-x²;
б) ƒ(x)=3+x²-6x;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з) ƒ(x)=xlnx;
и)
;
к)
.