7. Производная и ее применение

7.1. Задачи, приводящие к производной

Задача 1. ( О мгновенной скорости) Прямолинейное движение материальной точки М совершается по закону S=S(t), где S – путь, пройденный точкой за время t от начала движения (рис. 3.1.) Найти скорость точки в момент t=.

S=S (t)

0 M t

S=S ()

Рис. 7.1. Прямолинейное движение точки.

Решение. Каждому моменту времени соответствует определенный путь S, пройденный точкой М от точки 0 за время t. Путь есть функция времени: S = S(t). Для характеристики неравномерного движения используется понятие средней скорости. Если ,,то средней скоростью за промежуток времени отдоназывается число

.

Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем меньше длина промежутка .

Предел средней скорости за промежуток времени от доприt, стремящемся к , называется мгновенной скоростьюV() в момент:

, (7.1)

если этот предел существует и конечен.

Пример:

Лифт после включения движется по закону S(t) = 1,5+2t+12, где S – путь ( в метрах), t – время ( в секундах). Найти мгновенную скорость в момент времени .

Решение. По определению (3.1.) мгновенной скорости получаем:

=

=

Следовательно, лифт после включения движется со скоростью V(t)=3t+2; через 15 секунд, мгновенная скорость будет составлять V(15)=315+2=47(м/с).

Задача 2. ( О производительности труда) Количество произведенной продукции U за время t можно выразить функцией U=U(t). Найдем производительность труда в момент .

Решение. Если - количество продукции, произведенной к моменту,- к моменту, то средней производительностью труда за промежуток времени отдоназывается число:

.

Предел средней производительности труда за время приt, стремящемся к , называется производительностью труда в момент времени:

(7.2)

если этот предел существует и конечен.

7.2 Производная функции

Пусть функция y = f(x) задана на интервале (;b).

Зафиксируем некоторую точку и вычислим значение функции в ней, получимf(). Дадимприращениех0, получим другую точку+х, вычислим значение функции в этой точке:f(+х). Вообще говоря,f(+х)f(). Разностьf(+х) -f() называется приращением функции и обозначаетсяf=y.

Определение. Производной функцииf(x) в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если последнее стремится к нулю, а предел существует и конечен:

==.

Производная обозначается ;;( читается: «эф штрих от х»; «у штрих»; « де эф по де икс»).

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Функция f(x), х, имеющая производную в каждой точке этого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Можно доказать: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: существуют функции, непрерывные в точке, но не имеющие производную в ней.

В задачах имеем:

1. Мгновенная скорость V(t) в момент есть производная пути по времени:

.

2) Мгновенная производительность труда z(t) в момент есть производная от количества произведенной продукции по времени:

.