информатика / 1+2+3 +4+5 лаб работа ручной счет Excel Mcad СИ++

Добавил:

irinattttt Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Информатика

Файл:

) 0,567 4 x

P21( 0,2 ) 0,1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2022

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

3 участок

	1		x						y		2
C3				2		D3					2

		1	x							y


				3							3
a3		1		D3
a3	C3			D3
	0.8
a3
			2
P13(x) a3					0	a3	1	x
					0		1

		Матрицы C3 и D3 для системы линейных
		уравнений
		уравнений



		Решение системы линейных уравнений
		нахождение коэффициентов а30 и а31

Интерполирующая функция 3 участка

4 участок

	1		x					y		3
C4			3		D4					3

		1	x						y


			4							4
a4		1
a4	C4		D4
			2.033
a4
	1.333
P14(x) a4				0	a4	1	x
				0		1

		Матрицы C4 и D4 для системы линейных
		уравнений
		уравнений



		Решение системы линейных уравнений
		нахождение коэффициентов а40 и а41

Интерполирующая функция 4 участка

	P1(t) if t			x	P11(t) if t x			P12(t) if t x		P13(t) P14(t)	Ответ
				1			2	3
				1
		P1 x
			i
		y		0.5
		y
		i
				0	0		0.5	1
					0		0.5	1
							x
							i
Кусочно-параболическая интерполяция (Метод неопределённых
коэффициентов)
Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}
i	0		1			2	3		4
x	0,2		0,4			0,7	0,85		1
y	0,1		0,5			0,6	0,9		0,7

	Выполнить кусочно – параболическую интерполяцию.

Система для нахождения									Ответ
коэффициентов полинома
	на каждом участке
1 участок
a1 a1 x			0	a1	2	x 2	y	0
	0	1	0		2	0		0
						2	y1
a10 a11 x1				a12 x1			y1
a1 a1 x			2	a1	2	x 2	y	2
	0	1	2		2	2		2

2 участок
a2		0	a2	x	2	a2	2	x	2	y	2
			1						2
	a2		a2	x		a2		x	2	y
		0					2				3
			1		3			3
	a2		a2	x		a2		x	2	y
		0			4		2		4		4
			1

a1			a1	x a1		x	2		, при x				x x
											0			2
P2( x)		0	1	2
	a2		a2	x a2		x		2		, при x			x x

		0			2							2			4
			1

На интервале от 0,2 до 1 задано 5 точек, разобьём его на 2 отрезка x0 x x2 и x2 x x4 .

Интерполируем (метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1 степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат.

1 участок.
i	0	1	2	Общий вид полинома P21( x ) a1					a1 x a	2	x2	. По условию
				Общий вид полинома P21( x ) a1					a1 x a		x2	. По условию
x	0,2	0,4	0,7					0	1
x	0,2	0,4	0,7	интерполяции полином должен проходить через точки, которые выбраны для
y	0,1	0,5	0,6
y	0,1	0,5	0,6	P21( x		) y
				P21( x	0	) y	0
					0	) y	0	Следовательно
				построения, т.е. P21( x		) y		Следовательно
				1		1
				P21( x	2	) y	2
					2		2

a1		a1
	0	1
		a1
a1		a1
	0	1
	a1	a1
	a1	a1
	0	1


получаем

a10

a10 a10

 

a1		x	2	y	0
2			0		0
a1		x	2	y		. Подставим значения				x	,x	,x	2	, y	0	, y	, y	2	. В результате
a1		x		y						0	1		2		0	1		2
2		1		1
a1		x	2	y	2
2			2		2
a1	0,2 a1					0,22		0,1
1				2
a1	0,4 a1					0,4	2	0,5	.Неизвестными в системе являются a1											,a1 ,a1
a1	0,4 a1					0,4		0,5											0	1	2
1				2		0,72
a1	0,7 a1					0,72		0,6
1				2

.Решим систему методом Гаусса.

		1
		1

	1

	1

0,2 0,4 0,7

0,2	2

0,4	2

0,7	2

0,1
0,1
0,5
0,6
0,6

. Приведем систему к треугольному виду,

для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, из 3-ей строки вычтем 1-ю

строку и результат запишем на место 3-ей строки.

2-ю строку поделим на 0,2, а 3-ю строку на 0,5.

1		0,2
	0	0,2

	0	0,5

0,04 0,12 0,45

	0,1
	0,4
	0,4
	0,5
	0,5

. Перепишем 1-ю строку, а

	1		0,2	0,04	0,1
	1		0,2	0,04	0,1
Система примет вид		0	1	0,6	2	. Преобразуем систему перепишем 1-ю и 2-ю строки, а
		0	1	0,9	1
		0	1	0,9	1

из 3-ей строки вычтем 2-ю строку, результат запишем на место 3-ей строки. Получим следующую

систему

1		0,2
	0	1

	0	0

0,04 0,6 0,3

	0,1
	2

	1

. Запишем полученную матрицу в виде системы.

a1 a1 0,2 a1 0,04 0,1
	0	1	2				1	a12 3,333. Из 2-го
		a11 a12	0,6	2	. Из 3 уравнения найдем a12

		a12 0,3 1				0,3

уравнения найдем a11. a11 2 0,6 a12 a21 2 0,6 3,333 a11 4 . Из 1-го уравнения получим a10 a10 0,1 0,2 a11 0,04 a12 a10 0,1 0,2 4 0,04 ( 3,333)

a10 0,567.Запишем найденное уравнение P21( x ) 0,567 4 x 3,333 x2 .

Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x	, y	0	, x	, y , x	2	, y	2	.
0		0	1	1	2		2

P21( 0,2 ) 0,567 4 0,2 3,333 0,2	2

P21( x	) 0,567 4 x	3,333 x 2
1	1	1
P21( 0,4 ) 0,5

P21( 0,4 ) 0,567 4 0,4 3,333 0,4	2

P21( 0,7 ) 0,567 4 0,7 3,333 0,7	2

Следовательно, полученный полином проходит через 0- ю, 1-ю и 2-ю точки.

2 участок.

i	2	3	4
x	0,7	0,85	1
y	0,6	0,9	0,7

Общий вид полинома P22( x ) a20

a21 x a22

интерполяции полином должен проходить через точки,

x	2	. По условию

которые выбраны для

a2		0	a2		x		2	a2	2	x	2	y				2
		0	1				2		2		2					2
											2
	a2		a2		x			a2		x	2	y						. Подставим значения				x	2	,x ,x			4	, y	2	, y , y	4	. В результате
	a2	0	a2		x			a2	2	x		y			3								2	3			4		2	3	4
		0	1			3			2	3					3
	a2		a2		x			a2		x	2	y
	a2	0	a2		x		4	a2	2	x	4	y				4
		0	1				4		2		4					4
			a2				0	a2		0,7 a2							2	0,72 0,6
							0		1								2
																		2
получаем																		2		.Неизвестными в системе являются
получаем				a2		0	a2			0,85 a2							2	0,85	0,9	.Неизвестными в системе являются
						0		1									2
				a2			a2			1 a2							2	0,7
				a2		0	a2			1 a2			2	1				0,7
						0		1					2
																							0,7		2	0,6
																			1 0,7				0,7			0,6
a20 ,a21,a22 .Решим систему методом Гаусса. 1																					0,85		0,852			0,9				. Приведем систему к
																								2		0,7
																					1			1		0,7
																			1		1			1

треугольному виду, для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, из 3-ей

строки вычтем 1-ю строку и результат запишем на место 3-ей строки.

1		0,7
	0	0,15

	0	0,3

0,49

0,2325

0,51

	0,6

	0,3

	0,1

Перепишем 1-ю строку, а 2-ю строку поделим на 0,15, а 3-ю строку на 0,3.Система примет вид

. Преобразуем систему перепишем 1-ю и 2-ю строки, а из 3-ей строки

вычтем 2-ю строку, результат запишем на место 3-ей строки. Получим следующую систему

1		0,7
	0	1

	0	0

0,49 1,55 0,15

	0,6
	2
	2
	1,667
	1,667

. Запишем полученную матрицу в виде системы.

a2	0	a2 0,7 a2	2	0,49 0,6
	0	1	2			1,667	a22 11,111. Из
		a21 a22 1,55 2			. Из 3 уравнения найдем a22	1,667	a22 11,111. Из
		a22 0,15 1,667				0,15
		a22 0,15 1,667

2-го уравнения найдем a21 . a21 2 1,55 a22 a21 2 1,55 11,111 a21 19,222. Из 1- го уравнения получим a20 a20 0,6 0,7 a21 0,49 a22

a2	0,6 0,7 19,222 0,49 ( 11,111)
1

a2	0

7,411.Запишем

найденное уравнение

P22(x) 7,411 19,222 x 11,111 x	2	.

Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x	2	, y	2	, x	, y	3	, x	4	, y	4	.
	2		2	3		3		4		4

P22(x	) 7,411 19,222 x		11,111 x		2
P22(x	) 7,411 19,222 x	2	11,111 x		2
2		2			2
P22(0,7) 7,411 19,222 0,7 11,111					2
P22(0,7) 7,411 19,222 0,7 11,111					0,7
P22(0,7) 0,6
P22(x ) 7,411 19,222 x			11,111 x		2
P22(x ) 7,411 19,222 x			11,111 x
3	3			3
					2
P22(0,85) 7,411 19,222 0,85 11,111 0,85
P22(0,85) 0,9
P22(x	) 7,411 19,222 x		11,111 x		2
P22(x	) 7,411 19,222 x	4	11,111 x		4
4		4			4
				2
P22(1) 7,411 19,222 1 11,111 1
P22(1) 0,7 Следовательно, полученный полином проходит через 2- ю, 3-ю и 4-ю точки.
		0,567 4 x 3,333 x2 ,если 0,2 x 0,7
Запишем ответ P2( x)						2
		7,411		19,222 x 11,111 x			,если 0,7 x 1

Построим график

Реализация метода в Mcad

Метод неопределённых коэффициентов(кусочно-параболическая интерполяция)
	0.2												0.1				Исходные данные
	0.2												0.1
	0.4												0.5
	0.4												0.5

x	0.7									y			0.6					i 0 4
	0.85												0.9
	0.85												0.9

	1				1 участок								0.7
					1 участок
					x			2							y			Матрицы C1 и D1 для системы линейных
			x					2							y	0		уравнений
	1		x													0		уравнений
				0	0
					x			2					D1		y	1
C1 1			x					2					D1		y


				1	1									y
														y
	1		x		x			2								2
								2
				2	2
					1		D1
	a1 C1						D1						Решение системы линейных уравнений
													Решение системы линейных уравнений
		0.5667											нахождение коэффициентов а10 , а11 и а12
		0.5667
a1					4
a1					4

		3.3333
P21(x) a1					a1				x a1				2					Интерполирующая функция 1 участок
P21(x) a1				0	a1	1			x a1		2	x						Интерполирующая функция 1 участок
				0		1					2
			2 участок

1	x	x
			2
	2	2
		x	2
C2 1	x		2
C2 1	x
	3	3
	x	x
1	x	x	2
			2
	4	4

	y			Матрицы C2 и D2 для системы линейных
	y		2	уравнений
			2	уравнений

D2		y	3
D2		y


	y
			4

			1	D2					Решение системы линейных уравнений
a2 C2				D2					Решение системы линейных уравнений
									нахождение коэффициентов а20 , а21 и а22
	7.4111
a2		19.2222
a2		19.2222

	11.1111
P22(x) a2				a2		x a2		2				Интерполирующая функция 2 участок
P22(x) a2			0	a2	1	x a2	2	x				Интерполирующая функция 2 участок
			0		1		2
		P2(t)				if t x2 P21(t) P22(t)							Ответ
		P2(t)				if t x2 P21(t) P22(t)
		xp 0 0.05							1			точки для построения полинома
		xp 0 0.05							1
						P2 ( xp )			1
									1

									0
						y i


										1
										1	0	0.5	1
												xp xi

Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение Обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи: Дано дифференциальное уравнение		2y′′- y′ +3y=x и
начальные условия y(2)=0 y′ (2)=1	интервал [2;4,4]	n=2

Требуется определить на промежутке [2;4] с шагом h приближенные значения функции y(x), y’(x), удовлетворяющие дифференциальному уравнению и начальным условиям в табличной форме. Выполнить решение методами: методом Эйлера, методом Эйлера с усреднением, методом Эйлера с центрированием, методом РунгеКутта.

Ручной счет Метод Эйлера

Дано дифференциальное уравнение 2y′′- y′ +3y=x и начальные условия y(2)=0 y′ (2)=1 интервал [2;4,4] n=2

Введем обозначение у'=z , тогда y'' =z'. Перепишем исходное уравнение и начальные условия с учетом введенных обозначений.

	′ =
{2 ′ − + 3 =					y(2)=0			z(2)=1
Выразим из второго уравнения z'.
′ =
{ ′ =	+ −3	y(2)=0					z(2)=1
{ ′ =
2				x+z−3y
Обозначим f(x,y,z)=				x+z−3y			a=2	b=4,4
Обозначим f(x,y,z)=				2			a=2	b=4,4
				2
Вычислим шаг h =			b−a		=	4,4−2	=1,2
Вычислим шаг h =			n		=	2	=1,2
x0=2 y0=0		z0=1
Метод Эйлера
							xi+1 = xi + h
Итерационная формула {							yi+1 = yi + h zi

zi+1 = zi + h f(xi, yi, zi)

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

xi+1 = xi + h

{yi+1 = yi + h zi

z = z + h					xi + zi − 3 yi
z = z + h
i+1		i	2
			2
x0=2 y0=0 z0=1
Выполним первый шаг i=0
					x1 = x0 + h = 2 + 1,2 = 3,2
{			y1 = y0 + h z0 = 0 + 1,2 1 = 1,2
{				x0 + z0 − 3 y0			2 + 1 − 3 0
z = z		+ h		x0 + z0 − 3 y0		= 1 + 1,2	2 + 1 − 3 0	= 2,8
z = z	0	+ h				= 1 + 1,2		= 2,8
1	0		2			2
			2			2

1 = 3,2

1 = 1,2

1 = 2,8

Выполним второй шаг i=1

				x2 = x1 + h = 3,2 + 1,2 = 4,4
{			y2 = y1 + h z1 = 1,2 + 1,2 2,8 = 4,56
{			x1 + z1 − 3 y1			3,2 + 2,8 − 3 1,2
z	= z	+ h	x1 + z1 − 3 y1		= 2,8 + 1,2	3,2 + 2,8 − 3 1,2		= 4,24
z	= z	+ h			= 2,8 + 1,2			= 4,24
2	1		2				2
			2				2
x2 = 4,4		y2 = 4,56 z2 = 4,24

x		y		z
2		0		1
3,2		1,2		2,8
4,4		4,56		4,24

			y
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

Метод Эйлера усреднением

Итерационная формула

̅̅̅̅̅x

= x

+ h

I этап {

i+1

y̅̅̅̅̅ = y

+ h z

z̅̅̅̅̅ = z + h f(x

, y

, z )

i+1

̅̅̅̅̅x

= x

+ h

i+1

I этап {

y̅̅̅̅̅ = y

+ h z

i+1

z̅̅̅̅̅ = z + h

xi+zi−3 yi

i+1

xi+1 = xi + h

(z +z̅̅̅̅̅̅)

II этап

yi+1 = yi + h

i+1

(f(x ,y

)+f(̅̅̅̅̅̅x,y̅̅̅̅̅̅,z̅̅̅̅̅̅))

{zi+1 = zi + h

i i

+1 i+1

i+1

xi+1 = xi + h

+z̅̅̅̅̅̅)

yi+1 = yi + h

i+1

II этап

−3 y

x̅̅̅̅̅̅̅+z̅̅̅̅̅̅̅−3 y̅̅̅̅̅̅̅

(

i+1 i+1

i+1

)

{zi+1 = zi + h

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

x0=2 y0=0 z0=1

Выполним первый шаг i=0

					x̅1 = x0 + h = 2 + 1,2 = 3,2
I этап {		y̅1 = y0 + h z0 = 0 + 1,2 1 = 1,2
z̅ = z		0	+ h					x0+z0−3 y0										= 1 + 1,2										2+1−3 0			= 2,8
z̅ = z			+ h															= 1 + 1,2													= 2,8
	1												2												2
													2												2
x̅1 = 3,2	y̅1 = 1,2								z̅1 = 2,8
																		x1 = x0 + h = 2 + 1,2 = 3,2
																							(z		+z̅̅̅)									(1+2,8)
									y				= y		0		+ h						0		1		= 0 + 1,2										= 2,28
									y				= y				+ h										= 0 + 1,2										= 2,28
II этап										1															2										2
II этап																									2										2
												x +z −3 y									x̅̅̅̅+z̅̅̅̅−3 y̅̅̅̅														2+1−3 0						3,2+2,8−3 1,2
										(			0 0					0	+		1 1				1	)								(					+				)
										(			2						+							)								(	2				+			2	)
	{z1 = z0 + h												2										2						= 1 + 1,2						2							2		= 2,62
	{z1 = z0 + h																		2										= 1 + 1,2										2					= 2,62
1 = 3,2	1 = 2,28								1 = 2,62
Выполним второй шаг i=1
									x̅̅̅ = x + h = 3,2 + 1,2 = 4,4
										2			1
I этап {			̅̅̅y			= y				+ h z								= 2,28 + 1,2 2,62 = 5,424
I этап {			2						1						1
z̅ = z + h								x1+z1−3 y1										= 2,62 + 1,2												3,2+2,62−3 2,28						= 2,008
z̅ = z + h																		= 2,62 + 1,2																		= 2,008
	2	1											2																				2
													2																				2
x̅̅̅ = 4,4	̅̅̅y	= 5,424										z̅ = 2,008
2	2												2
II этап
														x2 = x1 + h = 3,2 + 1,2 = 4,4
																(z			+z̅̅̅)														(2,62+2,008)
				y		2	= y					+ h						1	2					= 2,28 + 1,2															= 5,057
				y			= y					+ h												= 2,28 + 1,2															= 5,057
									1										2																2
																			2																2
				x +z −3 y						1			x̅̅̅̅+z̅̅̅̅−3 y̅̅̅̅																			3,2+2,62−3 2,28								4,4+2,008−3 5,424
			(	1 1						1	+		2 2						2	)					(													+							)
			(								+									)					(									2				+				2			)
{z2 = z1 + h						2							2									= 2,62 + 1,2												2								2				= −0,645
{z2 = z1 + h											2											= 2,62 + 1,2															2									= −0,645
2 = 4,4	2 = 5,057										2 = −0,645

x	y								z
2	0					1
3,2	2,28					2,62
4,4	5,057					-0,645

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

Метод Эйлера с центрированием

Итерационная формула

= xi

= x + h

i+1 i

yi+1

= yi + h z

I этап

= yi +

II этап

zi+1 = zi + h f (x

, y

, z

)

= zi

f(xi, yi, zi)

{

{ i+2

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

= xi

= x + h

i+1

yi+1 = yi + h z

I этап

= yi +

II этап

1+z

1−3 y 1

= zi +

xi+zi−3 yi

zi+1 = zi + h

i+2

{ i+2

{

x0=2 y0=0 z0=1

Выполним первый шаг i=0

= x0

= 2 +

1,2

= 2,6

I этап

= y0

z0 = 0 +

1,2

1 = 0,6

x0+z0−3 y0

1,2

2+1−3 0

= z0

= 1 +

= 1,9

{

=2,6

=0,6

= 1,9

x1 = x0 + h = 2 + 1,2 = 3,2

y1 = y0

+ h z

= 0 + 1,2 1,9 = 2,28

II этап

x1+z1−3 y1

2,6+1,9−3 0,6

z = z + h

= 1 + 1,2

= 2,62

{ 1

1 = 3,2

1 = 2,28

1 = 2,62

Выполним второй шаг i=1
											x	3	= x1				+	= 3,2 +			1,2		= 3,8
											x	3	= x1				+	= 3,2 +					= 3,8
											2						2					2
											2
I этап							y3 = y1				+					z1 = 2,28 +				1,2		2,62 = 3,852
I этап							y3 = y1				+			2		z1 = 2,28 +			2			2,62 = 3,852
								2						2					2
								2
		z	3	= z1			+			x1	+z1−3 y1						= 2,62 +		1,2				3,2+2,28−3 2,62	= 2,34
		z		= z1			+										= 2,62 +							= 2,34
		{	2						2					2					2				2
x	3	=3,8		y		=3,852					z				= 2,34
	3				3								3
	2			2							2

					x2 = x1 + h = 3,2 + 1,2 = 4,4
			y2 = y1			+ h z = 2,28 + 1,2 2,34 = 5,057
								3
II этап						2
				x3+z3−3 y3					3,8+2,34−3 3,852
	z	= z	+ h	2		2 2	= 2,62 + 1,2		3,8+2,34−3 3,852	= −0,645
	z	= z	+ h				= 2,62 + 1,2			= −0,645
	{ 2	1				2			2
2 = 4,4	2 = 5,057			2 = −0,645

x	y		z
2	0		1
3,2	2,28		2,62
4,4	5,057		-0,645

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
Реализация методов в Mcad

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>