Вопросы с доказательством, включенные в контроль по модулю № 1
1.Переход к новому базису линейного пространства. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.
2.Норма вектора. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.
3.Теорема о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах линейного пространства.
4.Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова пространства.
5.Теорема об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно замены базиса.
6. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.
7.Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.
8.Теорема о матрице самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе.
9.Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.
10.Теорема о связи между матрицами одной и той же билинейной (квадратичной) формы в различных базисах.
Модуль 2 Функции нескольких переменных
Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества. Область и ее граница. Сформулируйте определения и приведите примеры.
Скалярная ФНП как отображение Rn R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня. Сформулируйте определения и приведите примеры.
Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Сформулируйте определения и приведите примеры.
Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва. Сформулируйте определения и приведите примеры.
Полное и частное приращение ФНП. Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для n = 2.
Частные производные ФНП высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (формулировка).
Дифференцируемость ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (с доказательством). Полный дифференциал ФНП и его геометрический смысл для n = 2.
Необходимые и достаточные условия, при которых дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом (необходимость с доказательством). Интегрирование дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Приведите примеры.
Дифференцируемость сложной функции (с доказательством). Частная и полная производные.
Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка (с доказательством). Дифференциалы высших порядков.
Неявные ФНП. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных ФНП (с доказательством).
Производная ФНП по направлению и градиент ФНП (определения, свойства и вывод основных формул).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, условия их существования и вывод уравнений.
Формулы Тейлора и Маклорена для ФНП. Сформулируйте теоремы и приведите примеры.
Экстремум ФНП. Необходимые условия экстремума (с доказательством). Достаточные условия экстремума (формулировка).
Условный экстремум ФНП. Целевая функция и уравнения связи. Геометрическая интерпретация при n = 2.
Функция Лагранжа. Необходимые условия существования условного экстремума (доказательство для n = 2). Достаточные условия (формулировка).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП на замкнутом и ограниченном множестве. Приведите пример.
Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение
.
Координатные функции. Геометрическая
интерпретация дляn;
m
= 2,3.Предел ВФНП. Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций (с доказательством). Непрерывность ВФНП в точке и на множестве.
Частные и полные приращения, частные производные ВФНП. Теорема о связи частных производных ВФНП и ее координатных функций (формулировка).
Дифференцируемость ВФНП, частные и полный дифференциалы. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме.