|
|
ФН2 |
Линейная
алгебра и функции нескольких переменных
Линейная алгебра и функции нескольких переменных
Оценочные средства
Типовые задачи, используемые при формировании
вариантов текущего контроля
Модуль 1. Линейная алгебра
Домашнее задание №1 «Линейная алгебра»
Часть 1.
Задание 1
Часть 2.
Задание 2
Контроль по модулю №1 (РК №1)
1. Сформулировать определения собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса линейного пространства.
2.
Даны векторы
и
.
Доказать, что
– базис линейного пространства
.
Найти координаты вектора
в базисе
.
3.
Доказать, что отображение
:
,
задаваемое формулой
,
является линейным оператором. Записать
матрицу линейного оператора
в каноническом базисе линейного
пространства
.
4.
Квадратичная форма в некотором
ортонормированном базисе имеет вид
.
Найти ортогональное преобразование,
приводящее квадратичную форму к
каноническому виду. Написать этот
канонический вид.
Модуль 2. Функции нескольких переменных
Контрольная работа
Задача
1. Для функции
найдите
.
Задача
2. Вычислите
для функции
,
заданной неявно уравнением
.
Задача
3. Для функции
и точке
найдите наибольшее значение производной
по направлению.
Задача
4. Составьте
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
Контроль по модулю №2
1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП
2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия.
3.
Найдите условные экстремумы функции
при условии
.
Вопросы для подготовки к контролям по модулям
Модуль 1 Линейная алгебра
-
Дайте определение линейного пространства, сформулируйте следствия из его аксиом и приведите примеры.
-
Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов линейного пространства. Сформулируйте критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
-
Дайте определение базиса и размерности линейного пространства. Связь между этими понятиями. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о единственности разложения по базису вектора линейного пространства. Линейные операции с векторами в координатной форме.
-
Дайте определение подпространства линейного пространства. Приведите пример. Дайте определение линейной оболочки системы векторов и сформулируйте её основное свойство.
-
Дайте определение ранга системы векторов линейного пространства. Сформулируйте теорему о ранге системы векторов и её следствие.
-
Линейное преобразование линейного пространства (переход к новому базису). Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису (вывод).
-
Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры. Напишите формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.
-
Дайте определение ортонормированной системы векторов евклидова пространства и докажите ее линейную независимость.
-
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве (без док-ва). Приведите пример.
-
Дайте определение нормы вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника (с выводом).
-
Дайте определение линейного оператора и действий с линейными операторами.
Матрица линейного оператора, определение и примеры. Сформулируйте теоремы о связи между действиями с линейными операторами и действиями с соответствующими им матрицами.
12. Докажите теорему о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Инвариантность определителя. Подобные матрицы.
-
Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите примеры. Докажите инвариантность характеристического многочлена и спектра собственных значений линейного оператора относительно выбора базиса.
-
Докажите теорему о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.
-
Докажите теорему о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.
-
Дайте определение оператора, сопряженного данному линейному оператору, и сформулируйте его свойства. Теорема о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе (без док-ва).
-
Дайте определение самосопряженного линейного оператора, докажите теорему о симметричности его матрицы в ортонормированном базисе. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора и ее следствия (формулировки). Случай кратных корней (формулировка).
-
Докажите теорему об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.
-
Дайте определение ортогональной матрицы. Сформулируйте ее свойства.
-
Ортогональные преобразования и их матрицы в ортонормированном базисе. Примеры. Приведение матрицы самосопряженного линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием.
-
Дайте определение симметричной билинейной формы и ее матрицы. Координатная, матричная и векторная форма записи этой формы. Сформулируйте теорему о её матрице.
-
Дайте определение квадратичной формы и докажите теорему о связи между матрицами одной и той же квадратичной (билинейной) формы в различных базисах.
-
Дайте определение ранга квадратичной формы. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.
-
Дайте определение канонического вида и канонического базиса квадратичной формы. Сформулируйте теорему о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.
-
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Приведите пример.
-
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.
-
Знакоопределенные квадратичные формы: определение, критерий Сильвестра (без док-ва). Приведите примеры.
-
Приведение линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду.