Контрольная работа

Задача 1. Для функции найдите.

Задача 2. Вычислите для функции, заданной неявно уравнением.

Задача 3. Для функции и точкенайдите наибольшее значение производной по направлению.

Задача 4. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке.

Контроль по модулю №1

Задача 1. Дайте определение линейного пространства и докажите следствия из аксиом.

Задача 2. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.

Задача 3. Докажите, что оператор поворота на угол вокруг оси в является линейным. Выпишите матрицу этого оператора и найдите образ вектора . Ответ проверьте геометрически.

Задача 4. Исследуйте знакоопределенность квадратичной формы в зависимости от значения параметра .

Задача 5. Докажите, что векторы образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

Задача 6. Квадратичная форма в некотором ортонормированном базисе имеет вид . Найдите ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Напишите этот канонический вид.

Контроль по модулю №2

Задача 1. Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП

Задача 2. Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия.

Задача 3. В точке М (2; 1; 1;) найдите градиент и производную по направлению функции, еслиN (0; 2; -1), а также максимальное значение производной по направлению в точке M.

Задача 4. Найдите идля функции, заданной уравнением

Задача 5. Найдите условные экстремумы функции при условии.

Вопросы для подготовки к контролям по модулям Модуль 1 Линейная алгебра

1. Дайте определение линейного пространства, сформулируйте следствия из его аксиом и приведите примеры.

2. Дайте определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов линейного пространства. Сформулируйте критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

3. Дайте определение базиса и размерности линейного пространства. Связь между этими понятиями. Приведите примеры. Сформулируйте теорему о единственности разложения по базису вектора линейного пространства. Линейные операции с векторами в координатной форме.

4. Дайте определение подпространства линейного пространства. Приведите пример. Дайте определение линейной оболочки системы векторов и сформулируйте её основное свойство.

5. Дайте определение ранга системы векторов линейного пространства. Сформулируйте теорему о ранге системы векторов и её следствие.

6. Линейное преобразование линейного пространства (переход к новому базису). Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису (вывод).

7. Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры. Напишите формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.

8. Дайте определение ортонормированной системы векторов евклидова пространства и докажите ее линейную независимость.

9. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве (без док-ва). Приведите пример.

10. Дайте определение нормы вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника (с выводом).

11. Дайте определение линейного оператора и действий с линейными операторами.

Матрица линейного оператора, определение и примеры. Сформулируйте теоремы о связи между действиями с линейными операторами и действиями с соответствующими им матрицами.

12. Докажите теорему о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Инвариантность определителя. Подобные матрицы.

13. Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите примеры. Докажите инвариантность характеристического многочлена и спектра собственных значений линейного оператора относительно выбора базиса.

14. Докажите теорему о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.

15. Докажите теорему о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.

16. Дайте определение оператора, сопряженного данному линейному оператору, и сформулируйте его свойства. Теорема о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе (без док-ва).

17. Дайте определение самосопряженного линейного оператора, докажите теорему о симметричности его матрицы в ортонормированном базисе. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора и ее следствия (формулировки). Случай кратных корней (формулировка).

18. Докажите теорему об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.

19. Дайте определение ортогональной матрицы. Сформулируйте ее свойства.

20. Ортогональные преобразования и их матрицы в ортонормированном базисе. Примеры. Приведение матрицы самосопряженного линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием.

21. Дайте определение симметричной билинейной формы и ее матрицы. Координатная, матричная и векторная форма записи этой формы. Сформулируйте теорему о её матрице.

22. Дайте определение квадратичной формы и докажите теорему о связи между матрицами одной и той же квадратичной (билинейной) формы в различных базисах.

23. Дайте определение ранга квадратичной формы. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.

24. Дайте определение канонического вида и канонического базиса квадратичной формы. Сформулируйте теорему о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

25. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Приведите пример.

26. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведите пример.

27. Знакоопределенные квадратичные формы: определение, критерий Сильвестра (без док-ва). Приведите примеры.

28. Приведение линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду.