Приложение к программе дисциплины
«Линейная алгебра и функции нескольких переменных»
Оценочные средства
Типовые задачи, используемые при формировании
вариантов текущего контроля
Домашнее задание №1 (часть 1) «Линейные и евклидовы пространства»
Задача
1. Исследуйте
на линейную зависимость систему векторов
,
,
.
Задача
2. Рассматривая
векторы 
как новый базис в 
,
вычислите
а)
координаты вектора 
в исходном базисе, зная его координаты
в новом базисе 
;
б)
координаты вектора 
в новом базисе, зная его координаты в
исходном базисе 
.
Задача 3. Даны координаты векторов в некотором ортонормированном базисе:
,
,
.
Применяя процесс ортогонализации, ортонормируйте эту систему векторов.
Домашнее задание №1 (часть 2) «Линейные операторы и квадратичные формы»
Задача
4. Найдите
собственные значения и собственные
векторы линейного оператора, заданного
в некотором базисе матрицей 
.
Задача
5. Приведите
матрицу 
к диагональному виду и укажите матрицу
перехода.
Задача
6. Приведите
квадратичную форму 
к каноническому виду методом Лагранжа.
Задача
7. Приведите
квадратичную форму 
к каноническому виду ортогональным
преобразованием.
Задача 8. Уравнение (а) кривой второго порядка на плоскости Oxy и уравнение (б) поверхности второго порядка в пространстве Oxyz приведите к каноническому виду, указав:
одно из преобразований перехода от заданной прямоугольной декартовой системы координат к канонической системе координат (собственные числа матрицы квадратичной формы расположите в порядке возрастания),
канонический вид уравнения кривой (а) и поверхности (б), значения всех параметров, характеризующих кривую и поверхность,
на плоскости Oxy постройте каноническую систему координат, кривую (а) и найдите в системе Oxy для центральной кривой координаты центра, вершин , фокусов, уравнения асимптот (для гиперболы), а для параболы – координаты вершины, фокуса, уравнения директрисы,
в канонической системе координат постройте поверхность (б), используя метод сечений.
Домашнее задание №2 «Функции нескольких переменных»
Задача
1. Для заданной
функции
выполните
следующие задания.
1. Найдите и изобразите на пл. ХОУ область определения (границы, принадлежащие области определения, стройте сплошной чертой, не принадлежащие - пунктиром.)
2.
Составьте уравнения линий уровня и
изобразите в области определения.
Выделите уравнение той из них, которая
проходит через заданную точку
,
изобразите её (другим цветом) на общем
рисунке.
3.
В заданной точке М вычислите производную
функции по направлению вектора
,
где
.
Найдите вектор градиента, постройте
его на общем рисунке.
4.
Вычислите наибольшее значение производной
функции по направлению в точке М и
укажите, в каком направлении
она
достигается.
Задача 2. Найдите первый дифференциал:
а)
для функции
;
б)
для сложной функции
;
в)
для неявной функции
;
г)
для неявной функции
.
В пункте а) найдите второй дифференциал.
Задача
3. Убедитесь,
что выражение
является полным дифференциалом
некоторой функции, найдите эту функцию.
Задача
4.
Покажите, что заданная функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Задача
5. На
поверхности, заданной уравнением
найдите
точки, в которых касательная плоскость
к поверхности перпендикулярна заданному
вектору
.
Составьте уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности,
проходящие через найденные точки.
Задача
6. Исследуйте
функцию
на локальные экстремумы.