С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 3 (v. 1.2)
.pdf
Алгебраическая нормальная форма
После раскрытия скобок и приведения подобных членов любая формула в базисе
B7 1, x1 x2, x1 x2
превращается в многочлен по (mod 2):
a : a2 a a a;a a 0
(x1 x2 )(x1 x3) x2 (x2 x3) (x2 x3) 1
x1 x1x2 x2 x3 x2 x3
71
Алгебраическая нормальная форма
После раскрытия скобок и приведения подобных членов любая формула в базисе
B7 1, x1 x2, x1 x2
превращается в многочлен по (mod 2):
a : a2 a a a;a a 0
(x1 x2 )(x1 x3) x2 (x2 x3) (x2 x3) 1
x1 x1x2 x2 x3 x2 x3
72
Алгебраическая нормальная форма
Пусть даны булевы переменные (x1, x2 ,..., xn ).
Выражение вида |
xi |
... xi |
называется |
|
1 |
k |
|
одночленом степени k.
Общая формула для одночлена от n
переменных имеет вид |
x 1 |
x 2 |
... x n , |
|
|
|
1 |
2 |
n |
при этом |
|
|
|
|
deg x1 1 x2 2 |
... xn n w( 1, 2,..., n ). |
|||
73
Алгебраическая нормальная форма
Число одночленов от n переменных равно 2n.
Общая формула для многочлена от n
переменных имеет вид
f x1,..., xn |
x1 1 ... xn n a( ,..., |
n |
) , |
|||
|
( 1,..., n) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом коэффициенты a( ,..., |
|
) |
2. |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
74
Алгебраическая нормальная форма
Теорема Жегалкина. Каждая булева функция f (x1, x2 ,..., xn ) единственным образом представляется в виде
f x |
,..., x |
|
x 1 |
... x n a |
|
,..., |
|
) |
, |
||
1 |
n |
|
|
1 |
n |
( |
n |
|
|||
|
|
|
(1,..., n) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты a(1,...,n) 2.
75
Алгебраическая нормальная форма
Доказательство. Поскольку система
B |
1, |
x x , x |
x |
7 |
|
1 2 1 |
2 |
функционально |
полна, |
каждая функция |
|
может быть представлена в виде многочлена
по (mod 2). Поскольку число различных |
|
многочленов от n переменных равно 22n |
и |
совпадает с числом всех булевых функций от того же числа переменных получаем, что каждой булевой функции соответствует
единственный многочлен по (mod 2). |
76 |
|
Алгебраическая нормальная форма
Этот многочлен называется алгебраической
нормальной формой (АНФ) булевой функции
f или ее многочленом Жегалкина.
77
Алгебраическая нормальная форма
Получение алгебраической нормальной формы (АНФ) булевой функции f.
1) Из СДНФ
f (x1, x2 , x3)
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3
x1 1 x2 1 x3 x1 1 x2 x3
x1 x2 1 x3 1 x1 x2 1 x3 x1x2 x3
x x x |
x x |
x x |
x |
x |
78 |
||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
|
Алгебраическая нормальная форма
Получение алгебраической нормальной формы (АНФ) булевой функции f.
1) Из СДНФ
f (x1, x2 , x3)
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3
x1x2 x3 |
|
x1x2 x3 x1x2 x3 |
x1x2 x3 |
|
x1x2 x3 |
|||||||||||||
|
x |
|
1 |
x |
a b a b |
a |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
x |
1 x x |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 |
|
||||
x1 x2 1 x3 1 x1 x2 1 x3 |
|
x1x2 x3 |
|
|||||||||||||||
x x x |
|
x x |
x x |
x |
x |
|
|
|
|
|
79 |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
Алгебраическая нормальная форма
Получение алгебраической нормальной формы (АНФ) булевой функции f.
1) Из СДНФ
f (x1, x2 , x3)
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3
x1x2 x3 |
|
x1x2 x3 x1x2 x3 |
x1x2 x3 |
|
x1x2 x3 |
|||||||||||||
|
x |
|
1 |
x |
a b a b |
a |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
x |
1 x x |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 |
|
||||
x1 x2 1 x3 1 x1 x2 1 x3 |
|
x1x2 x3 |
|
|||||||||||||||
x x x |
|
x x |
x x |
x |
x |
|
|
|
|
|
80 |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||