С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 3 (v. 1.2)

Полнота системы булевых функций

Вопрос: если задан базис B P2 , любую ли булеву функцию можно выразить формулами над этим базисом, а если нет, то какие булевы функции выражаются формулами над B ?

51

Полнота системы булевых функций

Система (множество) булевых функций B P2

называется функционально полной, если любая булева функция f P2 может быть выражены в виде формулы над B.

52

Полнота системы булевых функций

Примеры. НЕ функционально

полная система

 B 0, 1

 B1 P2

 B2 x1 x2 , x1 x2 , x

ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ

53

Полнота системы булевых функций

Теорема. Пусть

системы булевых функций, при этом F функционально полная система и каждая ее функция может быть выражена формулой в базисе G. Тогда G функционально полная система.

54

Полнота системы булевых функций

В силу функциональной полноты системы F

hC( f1, f2 ,...)

Всилу второго условия теоремы,

f1 C1(g1, g2 ,...), f2 C2 (g1, g2 ,...), ...

55

Полнота системы булевых функций

Подставляя формулы для fi в формулу для h, получаем,

h C( f1, f2 ,...)

C(C1(g1, g2 ,...), C2 (g1, g2,...), ...)

т.е. произвольная функция h P2 может быть выражена формулой в базисе G, откуда следует,

что G функционально полная система.

56

Полнота системы булевых функций

Опираясь на эту теорему можно расширить список функционально полных систем:

 B3 x1 x2 , x

57

Полнота системы булевых функций

Опираясь на эту теорему можно расширить список функционально полных систем:

 B3 x1 x2 , x

F B2 x1 x2 , x1 x2 , x

G B3 x1 x2 , x

x x; x1 x2 x1 x2; x1 x2 x1 x2

58

Полнота системы булевых функций

Опираясь на эту теорему можно расширить список функционально полных систем:

 B3 x1 x2 , x

F B2 x1 x2 , x1 x2 , x G B3 x1 x2 , x

x x; x1 x2 x1 x2; x1 x2 x1 x2

59

Полнота системы булевых функций

Опираясь на эту теорему можно расширить список функционально полных систем:

B3 x1 x2 , x

B4 x1 x2 , x

60