С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 3 (v. 1.2)
.pdf
Дизъюнктивные нормальные формы
Пусть даны булевы переменные (x1, x2,..., xn )
Выражение вида
xi1 i1 ... xik ik
называется элементарной конъюнкцией ранга k (k n).
31
Дизъюнктивные нормальные формы
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)
булевой функции f называется реализующая f формула, являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнкций. В отличии от СДНФ дизъюнктивная нормальная форма функции f определяется неоднозначно, т.е. f может иметь несколько реализующих ее ДНФ.
32
Дизъюнктивные нормальные формы
Пример.
f(x1, x2 , x3) x1 x1x2
x2 x1x2
x1x3 x1x3 x1x2 x1x2 x3
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3
33
Дизъюнктивные нормальные формы
Пример.
f (x1, x2 , x3) x1 x1x2
|
x2 x1x2 |
|
|
x1x3 x1x3 x1x2 x1x2 x3 |
|
СДНФ |
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 |
|
x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 |
||
|
34
Конъюнктивные нормальные формы
Пусть даны булевы переменные (x1, x2,..., xn )
Выражение вида
xi1 i1 ... xik ik
называется элементарной дизъюнкцией ранга k (k n).
35
Конъюнктивные нормальные формы
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ)
булевой функции f называется реализующая f формула, являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнкций. Аналогично ДНФ, конъюнктивная нормальная форма функции f определяется неоднозначно, т.е. f может иметь несколько реализующих ее КНФ:
f(x1, x2 , x3) x1 x2
x1 x2 x3 x1 x2 x3 36
Конъюнктивные нормальные формы
Рассмотрим f (x1, x2 ,..., xn ) 1.
Тогда двойственная функция f *(x1, x2 ,..., xn ) 0
и для нее можно получить СДНФ:
f * x , x |
,..., x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
... x |
|
|
|||||||
1 2 |
n |
|
( 1,..., n) |
1 |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f |
*( ,..., |
n |
) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Конъюнктивные нормальные формы
Всилу свойств двойственной функции
f * * (x1, x2 ,..., xn ) f (x1, x2 ,..., xn ).
Тогда |
f (x1, x2 ,..., xn ) |
f * * (x1, x2,..., xn ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( ,..., |
n |
) |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f *( 1,..., n) 1 |
|
|
|
|
38 |
||||
Конъюнктивные нормальные формы
|
|
x 1 |
... x n |
|
||
|
(1,..., n) |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
*( ,..., |
n |
)1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
||
|
(1,..., n) |
|
1 |
n |
|
||
|
|
|
|
||||
f (1,..., n)0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
||
|
(1,...,n) |
|
1 |
n |
|
||
|
|
|
|
||||
f (1,...,n)0
39
Конъюнктивные нормальные формы
|
|
x 1 |
... x n |
|
||
|
(1,..., n) |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
*( ,..., |
n |
)1 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
|
||||
|
(1,..., n) |
|
1 |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (1,..., n)0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
|
||||
|
(1,...,n) |
|
1 |
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
f (1,...,n)0
40