С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 3 (v. 1.2)
.pdf
Разложение функции по переменным
Доказательство. Рассмотрим, чему будут равны выражения в левой и правой части равенства при подстановке вместо переменных произвольных значений
x1 1, x2 2 , ..., xn n
Тогда слева будем иметь
f ( 1, 2 ,..., n )
11
Разложение функции по переменным
В то же время выражение справа будет равно
|
|
|
|
|
,..., |
|
, |
|
,..., |
|
). |
1 |
... |
m |
m f ( |
m |
m 1 |
n |
|||||
( 1 ,..., m) 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку ( ) 1 |
, |
единственным |
|||||||||
ненулевым слагаемым будет слагаемое, соответствующее набору 1 1, ..., m m :
|
|
|
|
|
|
, |
|
,..., |
) |
1 |
... |
m |
m f ( ,..., |
m |
m 1 |
||||
1 |
|
1 |
|
n |
|
||||
f ( 1, 2 ,..., n) |
|
|
|
|
12 |
||||
Разложение функции по переменным
Таким образом, выражения в левой и правой частях совпадают при любых значениях переменных (x1, x2 ,..., xn ) , т.е. они равны как функции.
13
Разложение функции по переменным
Замечание. Представление функции в виде
f x1,..., xm , xm 1,..., xn |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... x |
|
m f ( |
,..., |
|
, x |
,..., x ) |
|||
x |
1 |
|
m |
|||||||
( 1 ,..., m) |
1 |
|
|
m |
1 |
|
m 1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется разложением булевой функции по переменным (x1, x2 ,..., xm ).
При этом переменные, по которым происходит разложение функции, не обязательно выбирать
подряд и в числе первых. |
14 |
|
Разложение функции по переменным
Пример. Разложим функцию f (x1, x2 ,..., x5 )
по переменным (x2 , x4 ) :
f x1,..., x5 |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
, x , |
|
, x ) |
|
2 x |
|
4 f (x , |
2 |
4 |
||||
( 2, 4) 2 |
|
4 |
1 |
3 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x2 x4 f (x1,0, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,0, x3,1, x5) |
||||||||
x2 x4 f (x1,1, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,1, x3,1, x5) |
||||||||
15
Разложение функции по переменным
Пример. Разложим функцию f (x1, x2 ,..., x5 )
по переменным (x2 , x4 ) :
f x1,..., x5 |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
, x , |
|
, x ) |
|
2 x |
|
4 f (x , |
2 |
4 |
||||
( 2, 4) 2 |
|
4 |
1 |
3 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x2 x4 f (x1,0, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,0, x3,1, x5) |
||||||||
x2 x4 f (x1,1, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,1, x3,1, x5) |
||||||||
(σ2 , σ4) = (0,0) |
16 |
Разложение функции по переменным
Пример. Разложим функцию f (x1, x2 ,..., x5 )
по переменным (x2 , x4 ) :
f x1,..., x5 |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
, x , |
|
, x ) |
|
2 x |
|
4 f (x , |
2 |
4 |
||||
( 2, 4) 2 |
|
4 |
1 |
3 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x2 x4 f (x1,0, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,0, x3,1, x5) |
||||||||
x2 x4 f (x1,1, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,1, x3,1, x5) |
||||||||
(σ2 , σ4) = (0,1) |
17 |
Разложение функции по переменным
Пример. Разложим функцию f (x1, x2 ,..., x5 )
по переменным (x2 , x4 ) :
f x1,..., x5 |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
, x , |
|
, x ) |
|
2 x |
|
4 f (x , |
2 |
4 |
||||
( 2, 4) 2 |
|
4 |
1 |
3 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x2 x4 f (x1,0, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,0, x3,1, x5) |
||||||||
x2 x4 f (x1,1, x3,0, x5) |
x2 x4 f (x1,1, x3,1, x5) |
||||||||
18
Разложение функции по переменным
Следствие 1. Разложение булевой функции по одной переменной:
m 1: |
f x1,..., xn |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
, |
|
) |
|
|
n f (x ,..., x |
n |
||||
|
n |
1 |
n 1 |
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
xn f (x1,..., xn 1,0) xn f (x1,..., xn 1,1)
19
Разложение функции по переменным
Следствие 1. Разложение булевой функции по одной переменной:
m 1: |
f x1,..., xn |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
, |
|
) |
|
|
n f (x ,..., x |
n |
||||
|
n |
1 |
n 1 |
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
xn f (x1,..., xn 1,0) xn f (x1,..., xn 1,1)
20