Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 5 (v. 1.1)

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.59 Mб
Скачать

Теорема Поста

Доказательство. Необходимость.

Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L

– один из 5 основных замкнутых классов.

Тогда

B N N P2

51

Теорема Поста

Доказательство. Необходимость.

Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L

– один из 5 основных замкнутых классов.

Тогда

B N N P2

N – замкнутый класс

52

Теорема Поста

Доказательство. Необходимость.

Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L

– один из 5 основных замкнутых классов.

Тогда

B N N P2

B P2

53

Теорема Поста

Достаточность. Пусть В целиком не лежит

ни в одном из 5 основных замкнутых

классов.

Тогда

f0 B,

f0 T0;

f1 B,

f1 T1;

fs B,

fs S;

fm B,

fm M ;

fl B,

fl L.

54

Теорема Поста

I. Покажем, что с помощью функций f0 , f1 , fs

можно получить константы 0 и

1.

f0 T0

 

f0 (0,0,...,0) 1

а) f0 (1,1,...,1) 1

 

 

F1(x) f0 (x, x,..., x) 1

 

f1 T1

 

f1(1,1,...,1) 0

 

F0 (x) f1( f0 (x, x,..., x),..., f0 (x, x,..., x))f1(1,1,...,1) 0

55

Теорема Поста

I. Покажем, что с помощью функций f0 , f1 , fs можно получить константы 0 и 1.

f0 T0 f0 (0,0,...,0) 1

б) f0 (1,1,...,1) 0

F (x) f0 (x, x,..., x) x

По лемме о несамодвойственной функции,

из функций

fs S и x можно

получить

константу α;

другую константу можно получить

применив к α функцию инверсии.

56

Теорема Поста

II. C помощью полученных в п. I констант 0 и 1 и функции fm M по лемме о немонотонной функции можно получить функцию инверсии: x.

57

Теорема Поста

II. C помощью полученных в п. I констант 0 и 1 и функции fm M по лемме о немонотонной функции можно получить функцию инверсии: x.

III. C помощью полученных в п.п. I, II

констант

0 и 1,

функции инверсии x

и

функции

fl L

по лемме о нелинейной

функции можно получить функцию конъюнкции

x y.

58

Теорема Поста

Таким образом, каждая функция функционально полной системы

B3 x1 x2, x

может быть выражена формулой в базисе В.

По доказанной ранее теореме система В

сама является функционально полной системой.

59

Теорема Поста

Следствие. Всякий отличный от Р2

замкнутый класс булевых функций целиком

содержится по крайней мере в одном из

5 замкнутых классов:

T0 , T1, S, M , L.

60