С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 5 (v. 1.1)
.pdf
Теорема Поста
Доказательство. Необходимость.
Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L
– один из 5 основных замкнутых классов.
Тогда
B N N P2
51
Теорема Поста
Доказательство. Необходимость.
Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L
– один из 5 основных замкнутых классов.
Тогда
B N N P2
N – замкнутый класс
52
Теорема Поста
Доказательство. Необходимость.
Пусть B N , где N T0 , T1, S, M , L
– один из 5 основных замкнутых классов.
Тогда
B N N P2
B P2
53
Теорема Поста
Достаточность. Пусть В целиком не лежит
ни в одном из 5 основных замкнутых
классов. |
Тогда |
f0 B, |
f0 T0; |
f1 B, |
f1 T1; |
fs B, |
fs S; |
fm B, |
fm M ; |
fl B, |
fl L. |
54
Теорема Поста
I. Покажем, что с помощью функций f0 , f1 , fs
можно получить константы 0 и |
1. |
|||
f0 T0 |
|
f0 (0,0,...,0) 1 |
||
а) f0 (1,1,...,1) 1 |
|
|
||
F1(x) f0 (x, x,..., x) 1 |
|
|||
f1 T1 |
|
f1(1,1,...,1) 0 |
|
|
F0 (x) f1( f0 (x, x,..., x),..., f0 (x, x,..., x))f1(1,1,...,1) 0
55
Теорема Поста
I. Покажем, что с помощью функций f0 , f1 , fs можно получить константы 0 и 1.
f0 T0 f0 (0,0,...,0) 1
б) f0 (1,1,...,1) 0
F (x) f0 (x, x,..., x) x
По лемме о несамодвойственной функции,
из функций |
fs S и x можно |
получить |
константу α; |
другую константу можно получить |
|
применив к α функцию инверсии. |
56 |
|
Теорема Поста
II. C помощью полученных в п. I констант 0 и 1 и функции fm M по лемме о немонотонной функции можно получить функцию инверсии: x.
57
Теорема Поста
II. C помощью полученных в п. I констант 0 и 1 и функции fm M по лемме о немонотонной функции можно получить функцию инверсии: x.
III. C помощью полученных в п.п. I, II
констант |
0 и 1, |
функции инверсии x |
и |
функции |
fl L |
по лемме о нелинейной |
|
функции можно получить функцию конъюнкции
x y.
58
Теорема Поста
Таким образом, каждая функция функционально полной системы
B3 x1 x2, x
может быть выражена формулой в базисе В.
По доказанной ранее теореме система В
сама является функционально полной системой.
59
Теорема Поста
Следствие. Всякий отличный от Р2
замкнутый класс булевых функций целиком
содержится по крайней мере в одном из
5 замкнутых классов:
T0 , T1, S, M , L.
60