С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 5 (v. 1.1)
.pdf
Лемма о немонотонной функции
x1 |
x2 |
x3 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
Пример.
f x1, x2 , x3 M :
31
Лемма о немонотонной функции
x1 |
x2 |
x3 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
Пример.
f x1, x2 , x3 M :
Соседние наборы |
на которых |
нарушается |
монотонность |
32
Лемма о немонотонной функции
x1 |
x2 |
x3 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
Пример.
f x1, x2 , x3 M :
f 1,1, x x
33
Полнота системы булевых функций
Лемма о нелинейной функции.
Если |
f |
x1,..., xn L |
, то подставляя в |
|
функцию |
f |
вместо переменных xi |
функции |
|
x, x , 0, |
1 |
и, при необходимости, инвертируя |
||
функцию |
|
f, можно |
получить |
функцию |
конъюнкции.
34
Полнота системы булевых функций
Лемма о нелинейной функции.
Если |
f |
x1,..., xn L |
, то подставляя в |
|
функцию |
f |
вместо переменных xi |
функции |
|
x, x , 0, |
1 |
и, при необходимости, инвертируя |
||
функцию |
|
f, можно |
получить |
функцию |
конъюнкции.
f x1, x2 , x3, x4 , x5 L f 0, x ,0,1, y x y
35
Лемма о нелинейной функции
f x1, x2, x3, x4, x5 L f 0, x,0,1, y x y
0 |
|
|
x |
f |
x y |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
36
Лемма о нелинейной функции
Доказательство.
Если f x1,..., xn L, то в АНФ функции f найдется хотя бы одно слагаемое, содержащее произведение каких-то двух переменных.
Пусть, например, это будут переменные х1 и х2:
f x1,..., xn |
|
x1 x2 g1 x3,..., xn x1 g2 x3,..., xn |
|
x2 g3 x3,..., xn g4 x3,..., xn |
37 |
Лемма о нелинейной функции
Доказательство.
Если f x1,..., xn L, то в АНФ функции f
Функция, не
найдется хотя бы одно слагаемое, содержащее
являющаяся
произведение каких-то двух переменных. 0
тождественным .
Пусть, например, это будут переменные х1 и х2:
f x1,..., xn |
|
x1 x2 g1 x3,..., xn x1 g2 x3,..., xn |
|
x2 g3 x3,..., xn g4 x3,..., xn |
38 |
Лемма о нелинейной функции
Так как g1 x3,..., xn 0
3,..., n : g 3,..., n 1
39
Лемма о нелинейной функции
Так как g1 x3,..., xn 0
3,..., n : g 3,..., n 1
Рассмотрим функцию
1 x1, x2 f x1, x2 , 3,..., n
1 x1, x2 x1 x2 1 x1 2
1 g2 3,..., n ,2 g3 3,..., n ,0 g4 3,..., n .
x2 0;
40