С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 5 (v. 1.1)
.pdf
Булевы
функции
1
Полнота
и
замкнутость
2
Полнота системы булевых функций
Система (множество) булевых функций B P2
называется функционально полной, если
?
3
Полнота системы булевых функций
Система (множество) булевых функций B P2
называется функционально полной, если любая булева функция f P2 может быть выражены в виде формулы над B.
B P2
4
Полнота системы булевых функций
Система (множество) булевых функций B P2
называется функционально полной, если любая булева функция f P2 может быть выражены в виде формулы над B.
B P2
Критерий полноты ?
5
Полнота системы булевых функций
Лемма о несамодвойственной функции.
Если |
f |
x1,..., xn S , то подставляя в |
|
функцию |
f |
вместо переменных xi |
функции |
x и x |
, можно получить функцию, равную |
||
const.
6
Полнота системы булевых функций
Лемма о несамодвойственной функции.
Если |
f |
x1,..., xn S , то подставляя в |
|
функцию |
f |
вместо переменных xi |
функции |
x и x |
, можно получить функцию, равную |
||
const.
f x1, x2 , x3, x4 , x5 S f x , x, x , x , x 1
7
Полнота системы булевых функций
Лемма о несамодвойственной функции.
Если |
f |
x1,..., xn S , то подставляя в |
|
функцию |
f |
вместо переменных xi |
функции |
x и x |
, можно получить функцию, равную |
||
const.
x |
f |
1 |
|
8
Лемма о несамодвойственной функции
Доказательство.
Если f x1,..., xn S , то
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
n |
|||||
f |
|
x ,..., x |
|
x ,..., x . |
|||||
Если f x1,..., xn S |
, то |
найдется набор |
|||||||
1,..., n : |
f 1,..., |
n f 1,..., n |
|||||||
9
Лемма о несамодвойственной функции
Рассмотрим функцию
F (x) f x( 1) , x( 2 ) ,..., x( n )
Тогда
F (0) f 0( 1) ,0( 2 ) ,...,0( n ) f 1,..., n , F (1) f 1( 1) ,1( 2 ) ,...,1( n ) f 1,..., n .
10