С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 4 (v. 1.1)
.pdf
Основные замкнутые классы
L – линейные функции
f (x1, x2 ,..., xn ) L deg f |
1 |
|
x, x, x1 x2 x3, x1 |
x2 L |
|
x y, x y, x|y, x y L
21
Самодвойственные функции
Теорема. Множество L замкнуто.
Доказательство. |
|
f (x1, x2 ,..., xn ), fi (x1, x2,..., xn ) L |
(i 1,..., n) |
F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn ) deg F 1 F (x1, x2,..., xn ) L
22
Самодвойственные функции
Пусть |
P(n) |
– множество всех булевых функций |
||
|
2 |
|
|
|
от n переменных, |
L(n) L P(n). |
|||
|
|
|
|
2 |
Тогда |
L(n) |
|
2n 1. |
|
23
Самодвойственные функции
Пусть |
P(n) |
– множество всех булевых функций |
||
|
2 |
|
|
|
от n переменных, |
L(n) L P(n). |
|||
|
|
|
|
2 |
Тогда |
L(n) |
|
2n 1. |
|
f (x1, x2 ,..., xn ) L deg f 1
f (x1, x2 ,..., xn ) a0 1 a1 x1 a2 x2 ... an xn
n 1
24
Основные замкнутые классы
М – монотоннные функции
f (x1, x2 ,..., xn ) M ( 1,..., n ) ( 1,..., n )f ( 1, 2 ,..., n ) f ( 1, 2 ,..., n )
x, x y, x y T1
x, x|y, x y, x y T1
25
Монотонные функции
Теорема. Множество M замкнуто.
Доказательство. |
|
f (x1, x2 ,..., xn ), fi (x1, x2,..., xn ) M |
(i 1,..., n) |
F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn )
26
Монотонные функции
( 1,..., n ) ( 1,..., n )
F ( 1,..., n ) f f1( 1,..., n ),..., fn ( 1,..., n )
|
|
|
F ( 1,..., n ) f f1( 1,..., n ),..., fn ( 1,..., n )
F (x1, x2 ,..., xn ) M
27
Монотонные функции
Пусть P2(n) – множество всех булевых функций
от n переменных, M (n) M P2(n).
В отличие от множеств T0(n), T1(n), S (n), L(n) ,
мощности которых легко были найдены выше,
точное число монотонных функций в P2(n)
при больших n не известно.
28