С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 4 (v. 1.1)
.pdf
Пусть
от n
Тогда
Функции, сохраняющие ноль
P2(n) – множество всех булевых функций переменных, T0(n) T0 P2(n).
T (n) |
|
22n 1. |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
* |
|
2n |
|
* |
|
||
2 1 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
* |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные замкнутые классы
Т1 – функции, сохраняющие единицу f (x1, x2 ,..., xn ) T1 f (1,1,...,1) 1
x, x y, x y, x~y, x y T1 x, x|y, x y, x y T1
12
Функции, сохраняющие единицу
Теорема. Множество T1 замкнуто.
Доказательство.
f (x1, x2 ,..., xn ), fi (x1, x2,..., xn ) T1(i 1,..., n) F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn )
F (1,1,...,1)
f f1(1,1,...,1), f2 (1,1,...,1),..., fn (1,1,...,1)
f (1,1,...,1) 1 |
13 |
Функции, сохраняющие единицу
Пусть P2(n) – множество всех булевых функций
от n переменных, T1(n) T1 P2(n). Тогда T1(n) 22n 1.
14
Функции, сохраняющие единицу
Пусть
от n
Тогда
P2(n) – множество всех булевых функций переменных, T1(n) T1 P2(n).
T (n) |
|
22n 1. |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
n |
1 |
|
* |
|
|
|
2 |
|
* |
|
2 |
n |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные замкнутые классы
S – самодвойственные функции
f (x , x ,..., x ) S f * f |
|
|
||||||
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
x, x, x1 x2 x3, x1 x2 x1x3 x2 x3 S |
|
|
||||||
x y, |
x y, x|y, x y, |
x y S |
|
|
||||
f *(x , x ,..., x |
|
|
|
|
|
|
||
) f (x , x ,..., x |
) f (x , x ,..., x |
n |
) |
|||||
1 2 |
n |
1 2 |
n |
1 2 |
|
|||
f (x1, x2 ,..., xn ) f (x1, x2,..., xn )
16
Самодвойственные функции
Теорема. Множество S замкнуто.
Доказательство. |
|
f (x1, x2 ,..., xn ), fi (x1, x2,..., xn ) S |
(i 1,..., n) |
F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn )
17
Самодвойственные функции
F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn )
|
|
|
|
|
F (x1, x2 ,..., xn ) |
|
|||
* |
||||
F (x1, x2 ,..., xn ) S |
… |
|||
* |
||||
|
|
|
||
18
Самодвойственные функции
Пусть P2(n) – множество всех булевых функций
от n переменных, S (n) S P2(n). Тогда S (n) 22n 1.
19
Самодвойственные функции
Пусть |
|
P(n) |
– множество всех |
булевых функций |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от n переменных, S (n) S P(n). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Тогда |
|
S (n) |
|
|
22n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n 1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
* |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20