С2. МОИ. Презентации / Булевы функции 4 (v. 1.1)
.pdf
Булевы
функции
1
Полнота
и
замкнутость
2
Замыкание множества булевых функций
Пусть M P2 произвольное множество булевых функций. Замыканием множества
М называется множество всех функций, которые можно реализовать формулами в базисе М. Замыкание множества М будем
обозначать через [М].
Примеры. M P2 P2 P2
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
M 1, x |
x |
|
M |
|
L |
|
f P |
deg f 1 |
множество линейных функций |
3 |
|
Замыкание множества булевых функций
Свойства замыкания:
M M
M [[M ]]
M1 M 2 M1 M 2
M1 M 2 M1 M 2
M1 M 2 M1 M 2 |
4 |
Замыкание множества булевых функций
Понятие функциональной полноты можно
определить в терминах замыкания множеств:
множество M P2 является функционально |
||
полной системой |
M P . |
|
|
2 |
|
Множество булевых |
функций M P2 |
R |
называется замкнутым множеством, если
оно совпадает со своим замыканием, т.е.
M M
5
Основные
замкнутые
классы
6
Основные замкнутые классы
•Рассмотрим важнейшие замкнутые множества в P2. Часто рассматриваемые ниже замкнутые множества называются так же основными замкнутыми классами.
7
Основные замкнутые классы
Т0 – функции, сохраняющие ноль
f (x1, x2 ,..., xn ) T0 |
f (0,0,...,0) 0 |
x, x y, x y, x y T0 |
|
x, x~y, x|y, x y, |
x y T0 |
8
Функции, сохраняющие ноль
Теорема. Множество T0 замкнуто.
Доказательство.
f (x1, x2 ,..., xn ), fi (x1, x2,..., xn ) T0 (i 1,..., n) F (x1, x2 ,..., xn )
f f1(x1,..., xn ), f2 (x1,..., xn ),..., fn (x1, x2,..., xn )
F (0,0,...,0)
f f1(0,0,...,0), f2 (0,0,...,0),..., fn (0,0,...,0)
f (0,0,...,0) 0 |
9 |
Функции, сохраняющие ноль
Пусть P2(n) – множество всех булевых функций
от n переменных, T0(n) T0 P2(n). Тогда T0(n) 22n 1.
10