1. Утверждающе-отрицающий модус:

A v B, В ⊢ А

2. Отрицающе-утверждающий модус:

A v B, А ⊢ В

A v B, А ⊢ В

Дилемма (условно-разделительные умозаключения)

Дилемма – умозаключение из 3 посылок: 1 посылка – разд. суждение, 2 посылки – усл. суждения

Дилеммы:

	Конструктивные	Деструктивные
Простые	A → С, В → С А v В С	A → В, А → С В v С А
Сложные	A → В, С → D А v C B v D	A → В, С → D В v D А v C

Условные умозаключения

– умозаключения, у которых посылки и заключения – условные суждения.

A → B; B → C ⊢ A → C

Контрапозиция. Это умозаключение имеет следующую логическую форму:

А→В ⊢ ¬B→¬ A

П р и м е р:

Если философ — марксист, то он диалектик | Если философ не диалектик, то и не марксист.

12. Язык логики выказываний. Табличное определение логических терминов

Одним из способов описания выводов логики высказываний является табличное построение логики высказываний. Логика высказываний – раздел символической логики, поэтому в ней используется язык символов.

Символы этого языка:

1. p, q, r, s, p₁, q₁,... — пропозициональные символы (пропозициональные переменные, символы для суждений)

2. , &, , →, ↔ — лог. термины (лог. константы)

3. (,) — скобки

Определение формулы:

1. Пропозициональная переменная есть формула

2. Если А - формула и В - формула, то A, (А & В), (A  B), (А  В), (А  В) — формулы

3. Ничто иное не есть формула

Принимаются соглашения об опускании скобок в формулах. Опускаются внеш. скобки у отдельно стоящей формулы. Считают, что знак  связывает теснее, чем знаки &, v, , ; знак & — теснее, чем v, , ; знак v — теснее, чем , ; знак  теснее, чем .

При табличном построении логики высказываний лог. константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или «истина», или «ложь».

Элементарная формула - формула, являющаяся пропозициональной переменной.

Сложная формула - формула, содержащая логические константы. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы.

Каждую сложную формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде:

1.  А

2. А & В

3. A v В

4. А  В

5. А  В

А и В - формулы, являющиеся частями слож. формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть слож. формулами.

Напр., ((p v q)  (р & q))

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу – главную логическую константу формулы.

13. Способ построения таблиц истинности

Формулы р  q  q

В таблице:

1. Под глав. константой формулы будем писать истинностные значения формулы в целом. В этой формуле глав. лог. константой является знак импликации

2. Чтобы установить истинностные значения всей формулы, необходимо установить истинностные значения подформул, составляющих ее, т.е. формул р  q и q. Истинностные значения этих формул будем соответственно писать под лог. константами  и . В результате получим таблицу истинности:

p	q	p  q		 q
и	и	и	л	л
и	л	и	и	и
л	и	и	л	л
л	л	л	и	и

Число строк в таблице истинности определяется по следующей формуле: число строк таблицы = 2ⁿ, где n — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу, а число 2 показывает число истинностных значений (и, л).

Учитывая сказанное, построим таблицу истинности для формулы: (р  (q  r))  ((р  q)  (р  r)).

Формула содержит 3 различные переменные. Следовательно, число строк в таблице = 2ⁿ, 2³=8. Разделим число строк пополам и напишем под первой пропозициональной переменной (первой слева) в столбик 4 раза и и 4 раза л:

(	p	 (q  r))  ((р  q)  (р  r))
	и
	и
	и
	и
	л
	л
	л
	л

Каждую половину всех строк, т.е. в данном случае каждые 4 строки, в свою очередь разделим пополам и напишем под 2-ой по вхождению слева пропозициональной переменной, отличной от первой пропозициональной переменной, в обеих половинах строк 2 раза и «и» 2 раза «л»:

(	p		(	q	 r))  ((р  q)  (р  r))
	и			и
	и			и
	и			л
	и			л
	л			и
	л			и
	л			л
	л			л

Разделим, далее, половину каждой половины пополам и под 3-ей по вхождению слева переменной, отличной от первых 2 переменных, напишем «и», если эта часть (строка) нечетная при пересчете сверху вниз, или «л», если часть (строка) четная:

(	p		(	q		r	))  ((р  q)  (р  r))
	и			и		и
	и			и		л
	и			л		и
	и			л		л
	л			и		и
	л			и		л
	л			л		и
	л			л		л

Деление производится до тех пор, пока полученная в результате деления часть не будет состоять из 1 строки.

Одна и та же переменная может входить в формулу несколько раз. В одной и той же строке под всеми вхождениями одной и той же переменной пишется одно и то же значение, т.е. для завершения построения таблицы истинности следует под каждым 2-ым (3-им и т.д.) вхождением переменной написать те же значения, что и под 1-ым вхождением этой переменной.

(

p

 (

q



r

))  ((

р



q

)  (

р



r

))

и

и

и

и

и

и

и

и

и

л

и

и

и

л

и

л

и

и

л

и

и

и

л

л

и

л

и

л

л

и

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

л

л

л

и

л

л

л

и

л

л

л

л

л

л

л

Несложно завершить построение таблицы истинности:

(

p

 (

q



r

))  ((

р



q

)  (

р



r

))

и

и

и

и

и

И

и

и

и

и

и

и

и

и

л

и

л

л

И

и

и

и

л

и

л

л

и

и

л

и

и

И

и

л

л

и

и

и

и

и

и

л

и

л

И

и

л

л

и

и

л

л

л

и

и

и

и

И

л

и

и

и

л

и

и

л

и

и

л

л

И

л

и

и

и

л

и

л

л

и

л

и

и

И

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

И

л

и

л

и

л

и

л