14. Метод исследования рассуждений посредством таблично построенной логики высказываний

Тождественно-истинная (общезначимая) формула (з-н логики) - формула, принимающая значение «истина» при любом наборе значений входящих в нее переменных. Тождественно-ложная формула (противоречие) - формула, принимающая значение «ложь» при любом наборе значений входящих в нее переменных. Формула, принимающая значение «истина»/«ложь» хотя бы при нек. наборах значений переменных, называется выполнимой/опровержимой.

Логика высказываний, построенная табличным способом, дает эффективную процедуру для выявления з-нов логики, а также метод проверки правильности рассуждений.

Правильное рассуждение – рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение логического следования - из посылок А следует заключение В, если импликация (), имеющая антецедентом (если… то) конъюнкцию (&) формул, соответствующих посылкам, а консеквентом (то…) — формулу, соответствующую заключению, является тождественно-истинной.

Пусть дано рассуждение: «Если Иванов является участником этого преступления (p), то () он знал потерпевшего (q). Иванов не знал потерпевшего (q), но (&) знал его жену (r). Потерпевший знал Иванова (s). Следовательно (), Иванов является участником этого преступления (p)».

Для определения правильности рассуждения требуется:

1. Обозначить различными символами различные прост. высказывания p, q, r, s

2. Перевести на язык логики высказываний посылки и заключение. Переводом посылок являются формулы р  q, q & r, s, а переводом заключения — формула р

3. Формулы, являющиеся переводом посылок, последовательно соединить знаком конъюнкции (&):

((p  q) & (q & r )) & s

4. К полученной формуле присоединить справа знаком импликации () формулу, являющуюся переводом заключения (p):

((p  q) & (q & r )) & s  p

5. Для полученной формулы построить таблицу истинности

((p		q)	&(	(q	&	r)	)&	s		p
и	и	и	л	л	л	и	л	и	и	и
и	и	и	л	л	л	и	л	л	и	и
и	и	и	л	л	л	л	л	и	и	и
и	и	и	л	л	л	л	л	л	и	и
и	л	л	л	и	и	и	л	и	и	и
и	л	л	л	и	и	и	л	л	и	и
и	л	л	л	и	л	л	л	и	и	и
и	л	л	л	и	л	л	л	л	и	и
л	и	и	л	л	л	и	л	и	и	л
л	и	и	л	л	л	и	л	л	и	л
л	и	и	л	л	л	л	л	и	и	л
л	и	и	л	л	л	л	л	л	и	л
л	и	л	и	и	и	и	и	и	л	л
л	и	л	и	и	и	и	л	л	и	л
л	и	л	л	и	л	л	л	и	и	л
л	и	л	л	и	л	л	л	л	и	л

Эта формула является выполнимой и опровержимой.

Если формула, являющаяся переводом рассуждения на язык символов, оказывается тождественно-истинной, то можно сделать вывод о том, что рассуждение правильное.

Если тождественно-ложной, то рассуждение неправильное.

Если формула является выполнимой и опровержимой, то нет оснований считать рассуждение правильным. Необходимо продолжить анализ рассуждения, но уже ср-вами более богатого раздела логики — ср-вами логики предикатов.

Если формула содержит много переменных, то в некоторых случаях можно не строить таблицу, а путем особых “сокращающих” рассуждений установить, является ли она общезначимой, противоречивой или же выполнимой, но не общезначимой.

Рассмотрим проанализированную выше формулу. Предположим, что при некотором наборе значений переменных она принимает значение “л”:

((p ⊃ q) ∧ (¬ q ∧ r)) ∧ s ⊃ p

Это возможно, если значение консеквента — “л”, а антецедента — “и”, а следовательно, каждого члена конъюнкции — “и”:

((p ⊃ q) ∧ (¬ q ∧ r)) ∧ s ⊃ p.

Очевидно, что при значении “и” переменной p эта формула принимает значение “и”. Формула принимает как значение “л”, так и значение “и”, а следовательно, является выполнимой, но не общезначимой.