Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждения с отношениями, называется умозаключением с отношениями.

Важнейшими логическими свойствами отношений являются: рефлективность, симметричность, транзитивность, функциональность (однозначность).

Рефлексивным называется такое отношение между предметами А и В, в котором предмет находится в таком же отношении и к самому себе.

Если R обладает свойством рефлексивности, то оно выражается формулой: A R B A R A ∩ B R B

Например: «Если А ≡ В, то А ≡ А и В ≡ В»

Симметричным называется такое отношение, которое имеет место как между предметами А и В, так и между предметами В и А. Логическое свойство симметричности можно записать в виде формулы: A R B → B R A.

Например, свойством симметричности обладает отношение «быть родственником»: если А родственник В, то В - родственник А.

Транзитивным называется такое свойство отношений, когда при наличии этого отношения между предметами А и В, В и С можно установить это отношение между А и С, т.е. A R C. Логическое свойство транзитивности можно выразить формулой (A R B) ∩ (B R C) →A R C

Например: A>B 6 > 4

B>C или 4 > 2

A>C 6 > 2

Функциональным (однозначным) называется отношение в том, и только в том случае, если каждому значению отношения у отношения x R y соответствует лишь одно единственное значение х. Например, «х отец у», так как у каждого человека (у) имеется один единственный отец.

Логическое свойство функциональности символически можно записать в виде следующей аксиомы:

(A R B ∩ C R B) → A ≡ C

Упражнение 13

Из данных понятий сформулируйте суждения с отношениями, определите вид отношений.

1. Владивосток, Хабаровск, Магадан.

2. Покупка первая, покупка вторая, покупка третья, дороже на пять тысяч рублей.

3. Ярославль, Куйбышев, Астрахань, выше по течению Волги.

4. х, у, равно.

5. Эльбрус, Монблан, Эверест, выше.

6. Событие А, событие В, сообщение С, быть раньше.

7. А, В, С, быть больше.

8. Александр, Николай, быть братом.

9. Событие А, событие В, быть одновременным.

10. А, В, С, быть подобным.

11. Павел, Александр, быть другом.

12. Московский университет, Санкт-Петербургский университет, Томский университет, основан раньше.

13. Волков, Спиридонов, Кузнецов, земляк.

14. Москва, Брянск, Санкт-Петербург, основан раньше.

15. Волга, Днепр, Десна, быть больше по площади.

Пример:

Добролюбов, Шевченко, современник.

Добролюбов (В) – современник Шевченко (С).

Белинский (А) – современник Добролюбова (В).

Следовательно, Белинский (А) – современник Шевченко (С).

Отношение транзитивности (A R B ∩ B R C) →A R C

Упражнение 14

Укажите свойства отношений, на основании которых сделан вывод, запишите схему вывода.

1. G. равно F., следовательно F. равно G.

2. G. = F., следовательно, G. = D., F. = F.

3. Предмет С отличается некоторыми признаками от предмета D. Значит предмет D отличается этими же признаками от предмета С.

4. Фет родился позднее М. Лермонтова, М. Лермонтов – позднее Ф. Тютчева.

5. Петр – брат Сергея. Сергей – брат Максима. Значит, Петр – брат Максима.

6. G. находится на месте преступления одновременно с F., а F. – одновременно с D. Следовательно, G. находится на месте преступления одновременно с D.

7. G. подобно F., следовательно, F. подобно G.

8. Искомое число Х больше 4, 4 больше 8, следовательно, искомое число Х больше 8.

9. Все числа равные G., будут и F. D. равно G., следовательно, D. равно F.

10. Осло западнее Стокгольма, Стокгольм западнее Хельсинки. Следовательно, Осло западнее Хельсинки.

11. Александр старше Алексея. Алексей старше Антона. Значит, Александр старше Антона.

12. Территория Франции меньше территории Украины. А территория последней меньшей территории России. Следовательно, территория Франции меньше территории России.

13. G. эквивалентно F., В. подобно С., а С. эквивалентно D. Значит, G. эквивалентно D.

14. На факультете международных отношений количество студентов меньше чем на факультете рекламы, а на последнем количество студентов меньше чем на факультете экономики и управления. Следовательно, на факультете международных отношений количество студентов меньше чем на факультете экономики и управления.

15. События G. произошли одновременно с событием F., следовательно, и событие F. произошло одновременно с событием G.

Пример: Смоленск севернее Рязани. Рязань севернее Тулы. Следовательно, Смоленск севернее Тулы.

Отношение транзитивности: (A R B ∩ B R C) → A R C.