ДЗ_1 / ФункАн ДЗ
.pdfДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №3 по курсу функционального анализа,
ФН2, 4-й семестр
Задача №5
Варианты 1–4: доказать, что следующие функционалы в банаховом пространстве C[ 1; 1] являются линейными и непрерывными. Найти их нормы.
1. |
F [x] = |
1 |
x( 1) + x(1) . |
|
|
|
|||
3 |
||||
|
|
1 |
||
2. |
F [x] = Z |
x(t) dt x(0). |
||
|
|
1 |
||
|
|
1 |
||
3. |
F [x] = Z t3x(t) dt. |
|||
|
|
1 |
||
|
|
1 |
||
4. |
F [x] = Z |
tx(t) dt x(0). |
||
1
Варианты 5–23: доказать, что следующие функционалы в соответствующих банаховых пространствах являются линейными и непрерывными. Найти их нормы.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5. |
F [x] = Z0 |
tx(t) dt, C1[ 1; 1]. |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6. |
F [x] = Z tx(t) dt, L1[ 1; 1]. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7. |
F [x] = Z0 |
t2x(t) dt, L2[ 1; 1]. |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8. |
F [x] = Z t 1=3x(t) dt, L2[ 1; 1]. |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9. |
F [x] = x1 x2, x = fxng, l2. |
||||||
|
1 |
xk |
|
|
|
|
|
10. |
Xk |
|
, |
l2. |
|
||
F [x] = |
|
k |
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
11. |
1 |
|
|
|
1 |
xk, |
l1. |
F [x] = k=1 1 k |
|||||||
|
X |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12. |
Xk |
|
|
, c0 |
(б.м. последовательности). |
||
F [x] = |
21 kxk |
||||||
=1
13. |
F [x] = x3 |
+ x4 x5, |
m. |
||
|
2 |
|
|
|
|
14. |
F [x] = Z |
t4x(t) dt, |
L1[ 2; 2]. |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
15. |
F [x] = Z |
t4x(t) dt, |
L2[ 2; 2]. |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 xk |
|
|
||
16. |
Xk |
|
, l3. |
|
|
F [x] = |
|
k3 |
|
||
|
=1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
17. |
F [x] = x4 |
x3 + x1, |
l2. |
||
18. |
F [x] = x2 |
x1, m. |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
19. |
F [x] = Z |
tx(t) dt + x( 1), C[ 1; 1]. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
20. |
F [x] = x3 |
+ x4 + x6, |
l2. |
||
21. |
F [x] = klim!1 xk x1, |
c (сходящиеся последовательности). |
|||
|
1 |
|
|
|
|
22. |
F [x] = Z |
t3x(t) dt, |
L1[0; 2]. |
||
|
1 |
|
|
|
|
23. |
|
|
|
||
F [x] = x(1) + 2 x(2) x(3) , C[1; 3]. |
|||||
24. |
F [x] = x2 |
+ x3 x5, |
l2. |
||