ДЗ_1 / ДифГем ДЗ1

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОБС ЗЕПНЕФТЙС

дПНБЫОЕЕ ЪБДБОЙЕ ½ 1 ¥лТЙЧЩЕ Й РПЧЕТИОПУФЙ Ч РТПУФТБОУФЧЕ¥

рПЧЕТИОПУФШ ЪБДБОБ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙНЙ ХТБЧОЕОЙСНЙ S : r = r(u, v).

1.оБКФЙ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ РБТБНЕФТЙЪПЧБООПК РПЧЕТИОПУФЙ. оБРЙУБФШ ХТБЧОЕОЙЕ ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФЙ Л РПЧЕТИОПУФЙ Ч ФПЮЛЕ P1 É(ÉÌÉ) P2.

2.рПУФТПЙФШ РПЧЕТИОПУФШ Й ЛППТДЙОБФОХА УЕФШ ОБ ОЕК ( У ЙУРПМШЪПЧБОЙЕН УЙУФЕНЩ ЛПНРШАФЕТОПК БМЗЕВТЩ Mathematica). йУУМЕДПЧБФШ ЪБЧЙУЙНПУФШ ЧЙДБ РПЧЕТИОПУФЙ ПФ ПВМБУФЙ ЙЪНЕОЕОЙС РБТБНЕФТПЧ (u, v).

3.чЩЮЙУМЙФШ РЕТЧХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЙ. чЩЮЙУМЙФШ ХЗПМ НЕЦДХ ЛТЙЧЩНЙ u = v2 É u = v Ч ФПЮЛЕ ЙИ РЕТЕУЕЮЕОЙС.

4.чЩЮЙУМЙФШ ЧФПТХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЙ. пРТЕДЕМЙФШ ФЙРЩ ФПЮЕЛ РПЧЕТИОПУФЙ.

5.чЩЮЙУМЙФШ ЛТЙЧЙЪОХ РТПУФТБОУФЧЕООПК ЛТЙЧПК γ : r = r(t) Ч ФПЮЛБИ P1 É(ÉÌÉ) P2. пФЧЕФ

РТПЧЕТЙФШ РП ЖПТНХМЕ ДМС ЛТЙЧЙЪОЩ ЛТЙЧПК ОБ РПЧЕТИОПУФЙ.

6.оБКФЙ ЗМБЧОЩЕ ОБРТБЧМЕОЙС Й ЗМБЧОЩЕ ЛТЙЧЙЪОЩ Ч ФПЮЛБИ P1 É(ÉÌÉ) P2. чЩЮЙУМЙФШ УТЕДОАА Й ЗБХУУПЧХ ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ Ч ФПЮЛБИ P1 É(ÉÌÉ) P2.

7.уПУФБЧЙФШ ХТБЧОЕОЙС МЙОЙК ЛТЙЧЙЪОЩ, БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙИ МЙОЙК Й ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛЙИ ДМС ТБУУНБФТЙЧБЕНПК РПЧЕТИОПУФЙ. рТЙЧЕУФЙ РТЙНЕТЩ ТЕЫЕОЙК ЬФЙИ ХТБЧОЕОЙК.

рТЙНЕЮБОЙС.

1.ъБДБОЙС 1¡7 ПГЕОЙЧБАФУС РП 1 ВБММХ. нЙОЙНБМШОПЕ ЪБЮЕФОПЕ ЮЙУМП ВБММПЧ ЪБ ДПНБЫОЕЕ ЪБДБОЙЕ ½1 ¡ 5 ВБММПЧ. ъБ ПЖПТНМЕОЙЕ ДПНБЫОЕЗП ЪБДБОЙС У ЙУРПМШЪПЧБОЙЕН РБЛЕФБ TeX ОБЮЙУМСАФУС РППЭТЙФЕМШОЩЕ ВБММЩ (НБЛУЙНХН 3 ВБММБ). фБЛЙН ПВТБЪПН, НБЛУЙНБМШОП ЧПЪНПЦОПЕ ЮЙУМП ВБММПЧ ЪБ ДПНБЫОЕЕ ЪБДБОЙЕ ½1 ¡ 10 ВБММПЧ, НЙОЙНБМШОПЕ ¡ 5.

2.оХНЕТБГЙС ЪБДБЮ: G ¡ V

G ¡ ОПНЕТ ЗТХРРЩ (1 жо2-41, 2 жо2-42, 3 жо2-43),

V ¡ ОПНЕТ ЧБТЙБОФБ.

3.уТПЛ УДБЮЙ ДПНБЫОЕЗП ЪБДБОЙС ½1 ¡ 8 ОЕДЕМС.

1

1 1. r(u, v) = f5u cos v, 4u sin v, u2g;

r(t) = f5t cos t, 4t sin t, t2g; P1(0, 0, 0), P2( 5π, 0, π2).

1 2. r(u, v) = fu, 2u cos v, 4u sin vg;

r(t) = f1, 2 cos t, 4 sin tg; P1(1, 2, 0), P2(1, 0, 4).

1 3. r(u, v) = f5(u v), 2(u + v), 2uvg;

r(t) = f5(t2 t), 2(t2 + t), 2t3g; P1(0, 0, 0), P2(0, 4, 2).

1 4. r(u, v) = f5u sin v, 2u cos v, ug;

r(t) = f5 sin t, 2 cos t, 1g; P1(0, 2, 1), P2(5, 0, 1).

1 5. r(u, v) = fsin u, 2 cos u cos v, 2 cos u sin vg;

r(t) = fsin t, 2 cos2 t, 2 cos t sin tg; P1(0, 2, 0), P2(1, 0, 0).

1 6. r(u, v) = fsh u, 2 ch u cos v, 2 ch u sin vg;

r(t) = fsh t, 2 ch t cos t, 2 ch t sin tg; P1(0, 2, 0), P2(sh π, 2 ch π, 0).

1 7. r(u, v) = f4 ch u, 2 sh u cos v, 2 sh u sin vg;

r(t) = f4 ch t, 2 sh t cos t, 2 sh t sin tg; P1(4, 0, 0), P2(4 ch π, 2 sh π, 0).

1 8. r(u, v) = fu2, 2u cos v, 4u sin vg;

r(t) = ft2, 2t cos t, 4t sin tg; P1(0, 0, 0), P2(π2, 2π, 0).

1 9. r(u, v) = f2uv, 2(u + v), 4(u v)g;

r(t) = f2t3, 2(t2 + t), 4(t2 t)g; P1(0, 0, 0), P2(2, 4, 0).

1 10. r(u, v) = f5u sin v, 2u cos v, u2g;

r(t) = f5t sin t, 2t cos t, t2g; P1(0, 0, 0), P2(0, 2π, π2).

1 11. r(u, v) = f4 sin u, cos u sin v, cos u cos vg;

r(t) = f4 sin t, cos t sin t, cos2 tg; P1(0, 0, 1), P2(4, 0, 0).

1 12. r(u, v) = f4 sh u, ch u sin v, ch u cos vg;

r(t) = f4 sh t, ch t sin t, ch t cos tg; P1(0, 0, 1), P2(4 sh π, 0, ch π).

1 13. r(u, v) = f4 ch u, sh u sin v, sh u cos vg;

r(t) = f4 ch t, sh t sin t, sh t cos tg; P1(4, 0, 0), P2(4 ch π, 0, sh π). 1 14. r(u, v) = fu2, 4u sin v, u cos vg;

r(t) = ft2, 4t sin t, t cos tg; P1(0, 0, 0), P2(π2, 0, π).

1 15. r(u, v) = f2uv, 4(u v), u + vg;

r(t) = f2t3, 4(t2 t), t2 + tg, P1(0, 0, 0); P2(2, 0, 2).

1 16. r(u, v) = fu, 4u sin v, u cos vg;

r(t) = f1, 4 sin t, cos tg; P1(1, 0, 1), P2(1, 4, 0).

1 17. r(u, v) = f5 cos u cos v, 5 cos u sin v, 4 sin ug;

r(t) = f5 cos2 t, 5 cos t sin t, 4 sin tg; P1(5, 0, 0), P2(0, 0, 4).

1 18. r(u, v) = f5 ch u cos v, 5 ch u sin v, 4 sh ug;

r(t) = f5 ch t cos t, 5 ch t sin t, 4 sh tg; P1(5, 0, 0), P2( 5 ch π, 0, 4 sh π).

1 19. r(u, v) = f5 sh u cos v, 5 sh u sin v, 4 ch ug;

r(t) = f5 sh t cos t, 5 sh t sin t, 4 ch tg; P1(0, 0, 4), P2( 5 sh π, 0, 4 ch π).

1 20. r(u, v) = f2 sh u sin v, 2 sh u cos v, 5 ch ug;

r(t) = f2 sh t sin t, 2 sh t cos t, 5 ch tg; P1(0, 0, 5), P2(0, 2 sh π, 5 ch π).

2

2 1. r(u, v) = f5(u + v), 4(u v), 2uvg;

r(t) = f5(t2 + t), 4(t2 t), 2t3g; P1(0, 0, 0), P2(10, 0, 2).

2 2. r(u, v) = f5u cos v, 4u sin v, ug;

r(t) = f5 cos t, 4 sin t, 1g; P1(5, 0, 1), P2(0, 4, 1).

2 3. r(u, v) = fcos u cos v, 3 sin u, cos u sin vg;

r(t) = fcos2 t, 3 sin t, cos t sin tg; P1(1, 0, 0), P2(0, 3, 0).

2 4. r(u, v) = fch u cos v, 5 sh u, ch u sin vg;

r(t) = fch t cos t, 5 sh t, ch t sin tg; P1(1, 0, 0), P2( 1 ch π, 5 sh π, 0).

2 5. r(u, v) = fsh u cos v, 3 ch u, sh u sin vg;

r(t) = fsh t cos t, 3 ch t, sh t sin tg; P1(0, 3, 0), P2( sh π, 3 ch π, 0). 2 6. r(u, v) = fu cos v, u2, 5u sin vg;

r(t) = ft cos t, t2, 5t sin tg; P1(0, 0, 0), P2( π, π2, 0).

2 7. r(u, v) = fu + v, 2uv, 3(u v)g;

r(t) = ft2 + t, 2t3, 3(t2 t)g; P1(0, 0, 0), P2(2, 2, 0).

2 8. r(u, v) = fu cos v, u, 5u sin vg;

r(t) = fcos t, 1, 5 sin tg; P1(1, 1, 0); P2(0, 1, 5).

2 9. r(u, v) = f5 cos u sin v, sin u, 5 cos u cos vg;

r(t) = f5 cos t sin t, sin t, 5 cos2 tg; P1(0, 0, 5), P2(0, 1, 0).

2 10. r(u, v) = f5 ch u sin v, sh u, 5 ch u cos vg;

r(t) = f5 ch t sin t, sh t, 5 ch t cos tg; P1(0, 0, 5), P2(0, sh π, 5 ch π). 2 11. r(u, v) = fu sin v, u2, 4u cos vg;

r(t) = ft sin t, t2, 4t cos tg; P1(0, 0, 0), P2(0, π2, 4π).

2 12. r(u, v) = fu v, 2uv, 4(u + v)g;

r(t) = ft2 t, 2t3, 4(t2 + t)g; P1(0, 0, 0), P2(0, 2, 8).

2 13. r(u, v) = fu sin v, u, 4u cos vg;

r(t) = fsin t, 1, 4 cos tg; P1(0, 1, 4), P2(1, 1, 0).

2 14. r(u, v) = f2 cos u sin v, 2 cos u cos v, 5 sin ug;

r(t) = f2 cos t sin t, 2 cos2 t, 5 sin tg; P1(0, 2, 0), P2(0, 0, 5).

2 15. r(u, v) = f2 ch u sin v, 2 ch u cos v, 5 sh ug;

r(t) = f2 ch t sin t, 2 ch t cos t, 5 sh tg; P1(0, 2, 0), P2(0, 2 ch π, 5 sh π).

2 16. r(u, v) = f2u cos v, 3u sin v, u2g;

r(t) = f2t cos t, 3t sin t, t2g; P1(0, 0, 0), P2( 2π, 0, π2).

2 17. r(u, v) = f2(u + v), 3(u v), 2uvg;

r(t) = f2(t2 + t), 3(t2 t), 2t3g; P1(0, 0, 0), P2(4, 0, 2).

2 18. r(u, v) = f2u cos v, 3u sin v, ug;

r(t) = f2 cos t, 3 sin t, 1g; P1(2, 0, 1), P2(0, 3, 1).

2 19. r(u, v) = fsh u cos v, 2 ch u, sh u sin vg;

r(t) = fsh t cos t, 2 ch t, sh t sin tg; P1(0, 2, 0), P2( sh π, 2 ch π, 0). 2 20. r(u, v) = fu cos v, u2, 2u sin vg;

r(t) = ft cos t, t2, 2t sin t, g; P1(0, 0, 0), P2( π, π2, 0).

3

3 1. r(u, v) = f2 cos u cos v, 2 cos u sin v, 3 sin ug;

r(t) = f2 cos2 t, 2 cos t sin t, 3 sin tg; P1(2, 0, 0), P2(0, 0, 3).

3 2. r(u, v) = f2 ch u cos v, 2 ch u sin v, 3 sh ug;

r(t) = f2 ch t cos t, 2 ch t sin t, 3 sh tg; P1(2, 0, 0), P2( 2 ch π, 0, 3 sh π).

3 3. r(u, v) = f2 sh u cos v, 2 sh u sin v, 3 ch ug;

r(t) = f2 sh t cos t, 2 sh t sin t, 3 ch tg; P1(0, 0, 3), P2( 2 sh π, 0, 3 ch π). 3 4. r(u, v) = f2u cos v, 3u sin v, u2g;

r(t) = f2t cos t, 3t sin t, t2g; P1(0, 0, 0), P2( 2π, 0, π2).

3 5. r(u, v) = f2(u + v), 3(u v), 2uvg;

r(t) = f2(t2 + t), 3(t2 t), 2t3g; P1(0, 0, 0), P2(4, 0, 2).

3 6. r(u, v) = f2u cos v, 3u sin v, ug;

r(t) = f2 cos t, 3 sin t, 1g; P1(2, 0, 1), P2(0, 3, 1).

3 7. r(u, v) = fcos u cos v, 2 sin u, cos u sin vg;

r(t) = fcos2 t, 2 sin t, cos t sin tg; P1(1, 0, 0), P2(0, 2, 0).

3 8. r(u, v) = fch u cos v, 2 sh u, ch u sin vg;

r(t) = fch t cos t, 2 sh t, ch t sin tg; P1(1, 0, 0), P2( ch π, 2 sh π, 0).

3 9. r(u, v) = fsh u cos v, 2 ch u, sh u sin vg;

r(t) = fsh t cos t, 2 ch t, sh t sin tg; P1(0, 2, 0), P2( sh π, 2 ch π, 0).

3 10. r(u, v) = fu cos v, u2, 2u sin vg;

r(t) = ft cos t, t2, 2t sin t, g; P1(0, 0, 0), P2( π, π2, 0).

3 11. r(u, v) = fu + v, 2uv, 2(u v)g;

r(t) = ft2 + t, 2t3, 2(t2 t)g; P1(0, 0, 0), P2(2, 2, 0).

3 12. r(u, v) = fu cos v, u, 2u sin vg;

r(t) = fcos t, 1, 2 sin tg; P1(1, 1, 0), P2(0, 1, 2).

3 13. r(u, v) = f4 cos u sin v, sin u, 4 cos u cos vg;

r(t) = f4 cos t sin t, sin t, 4 cos2 tg; P1(0, 0, 4), P2(0, 1, 0).

3 14. r(u, v) = f4 ch u sin v, sh u, 4 ch u cos vg;

r(t) = f4 ch t sin t, sh t, 4 ch t cos tg; P1(0, 0, 4), P2(0, sh π, 4 ch π).

3 15. r(u, v) = f4 sh u sin v, ch u, 4 sh u cos vg;

r(t) = f4 sh t sin t, ch t, 4 sh t cos tg; P1(0, 1, 0), P2(0, ch π, 4 sh π).

3 16. r(u, v) = fu sin v, u2, 4u cos vg;

r(t) = ft sin t, t2, 4t cos tg; P1(0, 0, 0), P2(0, π2, 4π).

3 17. r(u, v) = fu v, 2uv, 4(u + v)g;

r(t) = ft2 t, 2t3, 4(t2 + t)g; P1(0, 0, 0), P2(0, 2, 8).

3 18. r(u, v) = fu sin v, u, 4u cos vg;

r(t) = fsin t, 1, 4 cos tg; P1(0, 1, 4), P2(1, 1, 0).

3 19. r(u, v) = f2 cos u sin v, 2 cos u cos v, 5 sin ug;

r(t) = f2 cos t sin t, 2 cos2 t, 5 sin tg; P1(0, 2, 0), P2(0, 0, 5).

3 20. r(u, v) = f2 ch u sin v, 2 ch u cos v, 5 sh ug;

r(t) = f2 ch t sin t, 2 ch t cos t, 5 sh tg; P1(0, 2, 0), P2(0, 2 ch π, 5 sh π).

4