1. Вправе ли вообще требовать защиты?

Да. Статья 152. Защита чести, достоинства и деловой репутации

П1. Гражданин вправе требовать по суду опровержения порочащих его честь, достоинство или деловую репутацию сведений, если распространивший такие сведения не докажет, что они соответствуют действительности. Опровержение должно быть сделано тем же способом, которым были распространены сведения о гражданине, или другим аналогичным способом.

2. Можно ли публиковать опровержение еще и в местной газете?

Нет, опровержение публикуется в газете (ст44)

3. Какой порядок обращения по опровержению? Правда ли что обратиться только после отказа ответчика?

Согласно Закону РФ от 27.12.1991 N 2124-1 (ред. от 18.04.2018, с изм. от 17.01.2019) "О средствах массовой информации"

Статья 43. Право на опровержение – Гражданин или организация вправе потребовать от редакции опровержения не соответствующих действительности и порочащих их честь и достоинство сведений, которые были распространены в данном средстве массовой информации.

Статья 44. Порядок опровержения – В опровержении должно быть указано, какие сведения не соответствуют действительности, когда и как они были распространены данным средством массовой информации.

4. На каких основаниях можно отказать в иске?

Статья 45. Основания отказа в опровержении В опровержении должно быть отказано, если данное требование либо представленный текст опровержения:

1) является злоупотреблением свободой массовой информации в смысле части первой статьи 4 настоящего Закона;

2) противоречит вступившему в законную силу решению суда;

3) является анонимным.

В опровержении может быть отказано:

1) если опровергаются сведения, которые уже опровергнуты в данном средстве массовой информации;

2) если требование об опровержении либо представленный текст его поступили в редакцию по истечении одного года со дня распространения опровергаемых сведений в данном средстве массовой информации.

5. Является ли многотиражная газета юл?

По ст52 закона о СМИ на ее редакторов распространяется статус журналистов. Это единственное, что сказано по поводу статуса, но если имеют статус журналистов, то и газета имеет статус официального источника и ЮЛ. Плюс не нужна регистрация, если менее 10 читателей, а тут явно больше, значит газета зарегистрирована.

6. Кто будет нести ответственность?

ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 24 февраля 2005 г. N 3 О СУДЕБНОЙ ПРАКТИКЕ ПО ДЕЛАМ О ЗАЩИТЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА ГРАЖДАН, А ТАКЖЕ ДЕЛОВОЙ РЕПУТАЦИИ ГРАЖДАН И ЮРИДИЧЕСКИХ ЛИЦ

П 5. Надлежащими ответчиками по искам о защите чести, достоинства и деловой репутации являются авторы не соответствующих действительности порочащих сведений, а также лица, распространившие эти сведения. 

Если оспариваемые сведения были распространены в средствах массовой информации, то надлежащими ответчиками являются автор и редакция соответствующего средства массовой информации. Если эти сведения были распространены в средстве массовой информации с указанием лица, являющегося их источником, то это лицо также является надлежащим ответчиком. При опубликовании или ином распространении не соответствующих действительности порочащих сведений без обозначения имени автора (например, в редакционной статье) надлежащим ответчиком по делу является редакция соответствующего средства массовой информации, то есть организация, физическое лицо или группа физических лиц, осуществляющие производство и выпуск данного средства массовой информации (часть 9 статьи 2 Закона Российской Федерации "О средствах массовой информации"). В случае, если редакция средства массовой информации не является юридическим лицом, к участию в деле в качестве ответчика может быть привлечен учредитель данного средства массовой информации. 

Задача №10

Синицыной пересадили сердце 20-ти летней Шмелевой, изъятое для трансплантации с письменного согласия ее родителей. После операции мать Ш стала приходить к С и просила заменить ее дочь. С отказалась и попросила мать Ш не приходить, тк это мешает выздоровлению. Ш обвинила С в неблагодарности и потребовала вернуть сердце ее дочери.