Приложение к программе дисциплины
«Интегралы и дифференциальные уравнения»
Оценочные средства
Типовые задачи, используемые при формировании
вариантов текущего контроля
Модуль1. Интегральное исчисление функций одной переменной
Контрольная работа №1 «Техника интегрирования»
Найти неопределенные интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Домашнее задание №1 «Приложения определенного интеграла.
1.
Вычислить площадь фигуры, которая
расположена на плоскости Oxy
и ограничена линиями
,
.
2.
Фигура,
расположенная на плоскости XОY,
и ограниченная линиями
,
вращается
вокруг оси. OY.
Вычислить объём полученного тела
вращения..
3.
Вычислить площадь фигуры., расположенной
внутри кривой
и одновременно вне кривой
.
4.
Вычислить
длину дуги кривой
.
5.
Вычислить площадь поверхности, полученной
при вращении линии
вокругоси ОХ.
6. Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
а)
,
б)
.
Рубежный контроль №1 «Приложения определенного интеграла».
1. Дать определение первообразной и сформулировать теоремы о первообразных.
2. Исследовать на сходимость и вычислить (если это возможно):
Найти площадь фигуры, расположенной внутри кривой
и вне кривой
.
4.
Найти объём тела, образованного вращением
вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями
.
5.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси ОY
области, ограниченной линиями
.
Модуль 2. Дифференциальные уравнения.
Контрольная работа №2 «Дифференциальные уравнения первого порядка»
1.
Решить задачу Коши
2.
Найти общее решение ДУ
3.
Найти общее решение ДУ
Решить задачу Коши
Найти общее решение ДУ
Домашнее задание №2 “Дифференциальные уравнения высшего порядка”
1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
3. Найти общее решение дифференциального уравнения.
4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
5.
Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго
порядка, если известно одно частное
решение
соответствующего однородного уравнения
Методом изоклин найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка
Рубежный контроль№2 “Дифференциальные уравнения высшего порядка”
Типовые задачи
1.ДУ 1-го порядка, интегральные кривые, задача Коши, частное и общее решение, частный и общий интеграл, теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Найти общее решение ДУ
3. Найти решение задачи Коши
4. Найти общее решение ДУ
5. Найти общее решение ДУ
Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной
1. Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.
2. Интегрирование подстановкой и по частям – вывод. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
3. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Примеры. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.
4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность определенного интеграла и вывести формулу для определенного интеграла от константы.
5. Доказать теоремы о переходе в неравенстве к интегралам, об оценке и о среднем для определенного интеграла.
6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.
7. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод), интегрирование периодических функций. Примеры.
8. Несобственные интегралы 1-го и2-го рода, доказать их свойства. Признаки сходимости. Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Доказать теорему о связи абсолютной сходимости и обычной. Примеры.
9.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).
10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).
11. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения (вывод).