§2. Методы решения задач многокритериальной оптимизации, использующие множество Парето. Метод весовых множителей

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

Ф(X)=Ф,(1)

где - векторный критерий оптимальности, .- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Для решения задачи многокритериальной оптимизации (1) широко используются методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации. Рассмотрим один из методов этой группы методов - метод весовых множителей.

В метод весовых множителей дополнительной информацией (относительно информации, заданной в постанове задачи (1)) является информация об относительной важности частных критериев. Метод требует, чтобы эта информация была формализована в значениях весовых множители . В этом случае в качестве скалярного критерия используется критерий

. (2)

Т.е. вместо задачи (1) решается задача глобальной условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности (2)

. (3)

Введем в рассмотрение -мерный вектор. Имеет место следующий очевидный факт: если при некоторомвекторявляется решением задачи (3), то этот же вектор является решением той же задачи (3) при любом, где- любая конечная положительная константа. Поэтому обычно на весовые множителинакладывается дополнительные условия вида

или.

Напомним следующее: из теоремы 1 вытекает, что вектор , являющийся решением однокритериальной задачи оптимизации (3), принадлежит множеству Парето задачи (1), а обратное утверждение неверно - вектор, принадлежащий множеству Парето задачи (1), не обязательно удовлетворяет условию (3).

Существуют различные способы выбора весовых множители . Одним из таких способов является назначение коэффициентов согласно таблице 1.

Таблица 1 - Шкала относительной важности частных критериев

Относительная важность критерия	Определение относительной важности критериев
1	Равная важность
3	Умеренное (слабое) превосходство
5	Сильное (существенное) превосходство
7	Очевидное превосходство
9	Абсолютное (подавляющее) превосходство
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними оценками

Для того чтобы при выборе весовых множителей избавиться от влияния масштабов частных критериев оптимальности, в методе весовых множителей целесообразно использовать нормализованные критерии.

Справка. Нормированное уравнение прямой на плоскости имеет вид

,

где - направляющие косинусы вектора, перпендикулярного к данной прямой – рисунок. Аналогично в пространствеуравнение

определяет гиперплоскость, направляющие косинусы нормали к которой задаются вектором , а величинапредставляет собой расстояние от этой гиперплоскости до начала системы координат

Рисунок – Нормированное уравнение прямой на плоскости

Дадим геометрическую интерпретацию метода. С использованием вектора критерий оптимальности (2) можно записать в виде скалярного произведения

, (4)

а задачу (3) в виде

. (5)

Уравнение , где- некоторая константа, определяет в пространстве критериевгиперплоскость. При этом решение задачи

можно интерпретировать как поиск такого значения с, при котором гиперплоскостьбудет касательной к множествузадачи (1). Компоненты вектораопределяют искомую точкукасания этой гиперплоскости с множеством(рисунок 1).

Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев. Множествовыпукло. Для любой точкимножества(дугаA,B) найдется вектор весовых множителей, при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Множество задачи (1) может быть не выпуклым. В этом случае не все точки множествамогут быть достигнуты с помощью изменения компонент вектора(рисунок 2).

Рисунок 2 - Геометрическая интерпретация метода весовых множителей: случай двух критериев. Множествоне выпукло. Ни для одной из точекмножества, принадлежащих дуге, невозможно найти вектор весовых множителей, при котором эта точка удовлетворяет условию (5).

Входные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• скалярный критерий оптимальности;

• множество допустимых значений;

• нормализация пространства критериев;

• весовые коэффициенты частных критериев оптимальности;

• множество Парето; переговорное множество; область компромисса;

• методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации.

Выходные термины:

• метод -ограничений.