- •1. Лекция 1 (1-й час)
- •1.1.Численные методы алгебры. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •2. Лекция 1 (2-й час)
- •2.1.Приближение функций. Метод наименьших квадратов в классе полиномиальных функций
- •3. Лекция 2 (1-й час)
- •3.1.Численные методы вычисления определенного интеграла. Постановка задачи
- •4. Лекция 2 (2-й час)
- •4.1.Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи
- •4.3.Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Литература
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. Баумана
Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»
А.А. Федотов, П.В. Храпов
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Лекции 1 и 2
Mосква
c 2012 МГТУ им. Н.Э. Баумана
Оглавление
1. |
Лекция 1 (1-й час) |
4 |
|
|
1.1. Численные методы алгебры. Решение систем линейных алгеб- |
|
|
|
раических уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
|
|
1.1.1. |
Прямой ход метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.1.2. |
Обратный ход метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.1.3. |
Метод Гаусса с выбором главного элемента . . . . . . . |
6 |
|
1.2. Задание к лабораторной работе |
|
|
|
«Метод Гаусса с выбором главного элемента» . . . . . . . . . . |
9 |
|
2. |
Лекция 1 (2-й час) |
13 |
2.1.Приближение функций. Метод наименьших квадратов в классе полиномиальных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.Задание к лабораторной работе «Метод наименьших квадратов» . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Лекция 2 (1-й час) |
20 |
3.1. Численные методы вычисления определенного интеграла. По- |
|
становка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
3.2.Численные методы вычисления интеграла . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1.Квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2.Формулы средних прямоугольников, трапеций и Симп-
сона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
3.2.3.Составные квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4.Правило Рунге практической оценки погрешности . . . 27
3.3. Задание к лабораторной работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Оглавление
4. Лекция 2 (2-й час) |
33 |
4.1.Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.Численные методы решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1. |
Явный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
4.2.2. |
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности . . . |
36 |
4.2.3. Правило Рунге практической оценки погрешности . . . 37
4.3.Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
4.4. Задание к лабораторной работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
Литература |
44 |
3
Глава 1
Лекция 1 (1-й час)
1.1.Численные методы алгебры. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ)
вида
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A~x = b; |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
1 |
|
0 a1;n+1 |
1 |
|
0 a11 |
a12 |
::: |
a1n |
|
|
||||
A = B a21 |
a22 |
::: |
a2n |
C |
; |
~b = B a2;n+1 |
C |
: |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
C |
|
B |
::: |
::: |
::: |
::: |
C |
|
B ::: |
C |
|
B an1 |
an2 |
::: |
ann |
C |
|
B an;n+1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
C |
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
@ |
A |
|
Перепишем ее в развернутом виде
a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = a1;n+1;
a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = a2;n+1;
(1.1.1)
:::
an1x1 + an2x2 + ::: + annxn = an;n+1:
4
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
1.1.1. Прямой ход метода Гаусса
Предположив, что a11 6= 0, разделим первое уравнение системы (1.1.1) на
a11. Получим
n
Xj |
(1.1.2) |
x1 + a11jxj = a11;n+1: |
|
=2 |
|
Из каждого из оставшихся уравнений в (1.1.1) (i = 2; 3; : : : ; n) вычтем уравнение (1.1.2), умноженное на соответствующий коэффициент ai1. Полу-
чим
n
Xj |
|
|
aij1 xj = ai;n1 |
+1; i = 2; 3; : : : ; n: |
(1.1.3) |
=2 |
|
|
Предположив, что a122 6= 0, разделим первое уравнение системы в (1.1.3)
на a221 : |
n |
|
x2 + |
Xj |
(1.1.4) |
a22jxj = a22;n+1: |
||
|
=3 |
|
Из каждого из оставшихся уравнений в (1.1.3) (i = 3; 4; : : : ; n) вычтем уравнение (1.1.4), умноженное на соответствующий коэффициент a1i2. Полу-
чим
n
Xj |
|
|
|
(1.1.5) |
aij2 xj = ai;n2 |
+1; |
i = 3; 4; : : : ; n: |
||
=3 |
|
|
|
|
В результате придем к системе |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
jX |
aiji xj = ai;ni |
|
(1.1.6) |
|
xi + |
+1; i = 1; 2; : : : ; n: |
|||
=i+1 |
|
|
|
|
Прямой ход метода Гаусса завершен. |
|
|||
1.1.2. Обратный ход метода Гаусса |
|
|||
Из формулы (1.1.6) следует |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
jX |
|
i = n; n 1; n 2; :::; 1: |
|
|
xi = ai;ni +1 |
aiji xj; |
(1.1.7) |
=i+1
5
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
Количество арифметических операций при использовании метода Гаусса
составляет порядка const n3.
Для того, чтобы повысить точность вычислений и избежать возможного деления на ноль (см. выше: «Предположив, что a11 6= 0:::»), используют
метод Гаусса с выбором главного элемента.
1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
Пусть на k-ом шаге (при k = 0 это исходная система уравнений) получена
система уравнений:
|
n |
|
|
|
xi + X aiji xj = ai;ni |
+1; i = 1; 2; : : : ; k; |
|||
|
j=i+1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
X aijk xj = ai;nk |
+1; |
i = k + 1; k + 2; : : : ; n: |
||
j=k+1 |
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
jal;kk |
+1j = max jai;kk |
+1j; |
i = k + 1; k + 2; : : : ; n: |
Переставляем местами l-ю и (k + 1)-ю строки. Если при этом jakl;k+1j = 0 , то
это означает, что определитель матрицы A равен нулю и система уравнений
либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много (теорема Кронекера-
Капелли).
Далее продолжаем применять стандартный метод Гаусса, пока не спу-
стимся на ступеньку ниже, после чего повторяем процедуру.
Пример. Рассмотрим систему уравнений
0 1 |
2 |
3 |
4 |
1 0 x1 |
1 |
|
0 22 1 |
|
||||
B |
3 |
5 |
1 |
7 |
C B x2 |
C |
= |
B |
38 |
C |
: |
|
B |
8 |
2 |
0 |
|
2 |
C B x3 |
C |
|
B |
16 |
C |
|
B |
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
B |
6 |
6 |
6 |
9 |
C B x4 |
C |
|
B |
60 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
A @ |
A |
|
@ |
|
A |
|
6
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
Решение.
1 шаг. Так как ja31j = 8 = max ja0i;1j > ja11j = 1, то переставляем местами
i=1;:::;4
первую и третью строки:
0 8 |
2 |
0 |
2 1 0 x1 |
1 |
|
0 16 1 |
|
||||
B |
3 |
5 |
1 |
7 |
C B x2 |
C |
= |
B |
38 |
C |
: |
B |
1 |
2 |
3 |
4 |
C B x3 |
C |
|
B |
22 |
C |
|
B |
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
B |
6 |
6 |
6 |
9 |
C B x4 |
C |
|
B |
60 |
C |
|
B |
|
|
|
|
C B |
C |
|
B |
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
A @ |
A |
|
@ |
|
A |
|
Поделим первую строку на a0011 = 8 и вычтем получившуюся строку из второй, третьей и четвёртой строк, домножив первую строку на a0021 = 3, a0031 = 1, a0041 = 6, соответственно. В результате получим
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|||
B |
0 |
4 |
|
|
B |
|
17 |
||
B |
|
|
|
|
|
7 |
|
||
B |
0 |
|
|
|
4 |
|
|||
B |
|
|
||
B |
|
|
|
|
B |
|
9 |
|
|
B |
0 |
|
|
|
2 |
|
|||
B |
|
|
||
B |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
||
4 |
x1 |
|
2 |
|
||||||||
1 |
|
31 |
C |
x2 |
|
32 |
|
|||||
|
4 |
|
|
= |
|
|
: |
|||||
|
17 |
C |
|
|
C |
B |
|
C |
||||
3 |
4 |
C |
B x3 |
C |
|
B |
20 |
C |
|
|||
|
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
||||
|
|
|
|
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
6 |
21 |
C B x4 |
C |
|
B |
48 |
C |
|
||||
2 |
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
||||
|
C @ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
A
2 шаг. Так как ja142j = 92 = max ja1i;2j > ja122j = 174 , то переставляем места-
i=2;3;4
ми вторую и четвертую строки:
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|||
B |
0 |
2 |
|
|
B |
|
9 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
7 |
|
||
B |
0 |
|
|
|
4 |
|
|||
B |
|
|
||
B |
|
|
|
|
B |
|
17 |
||
B |
0 |
|
|
|
4 |
|
|||
B |
|
|
||
B |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
||
4 |
x1 |
|
2 |
|
||||||||
6 |
|
21 |
C |
x2 |
|
48 |
|
|||||
|
2 |
|
|
= |
|
|
: |
|||||
|
17 |
C |
|
|
C |
B |
|
C |
||||
3 |
4 |
C |
B x3 |
C |
|
B |
20 |
C |
|
|||
|
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
||||
|
|
|
|
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
1 |
31 |
C B x4 |
C |
|
B |
32 |
C |
|
||||
4 |
C B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
||||
|
C @ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
A
Поделим вторую строку на a0122 = 92 и вычтем получившуюся строку из
7
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
третьей и четвёртой строк, домножив вторую строку на a0132 = 74, a0142
соответственно. В результате получим
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
4 |
x1 |
|
32 |
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 0 x2 |
1 |
= B |
2 |
C |
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
3 |
|
|
3 |
: |
||||||||||||||||
B |
|
|
2 |
|
|
1 |
C |
|
C |
|
4 |
|||||||||
B |
|
|
|
|
C B |
B |
C |
|
||||||||||||
B |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B x3 |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
3 |
|
|
6 |
|
||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
C B |
C |
B |
C |
|
|||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
B |
0 |
0 |
14 |
13 |
C B x4 |
C |
B |
40 |
C |
|
||||||||||
B |
3 |
6 |
C B |
C |
B |
3 |
C |
|
||||||||||||
B |
|
|
C @ A |
B |
C |
|
||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
3 шаг. Так как ja243j = 143 = max ja2i;3j > ja233j = 23, то переставляем
i=3;4
ми третью и четвертую строки:
= 174 ,
места-
0 |
1 |
1 |
0 |
||||
|
|||||||
4 |
|||||||
B |
0 |
1 |
3 |
||||
B |
|
|
4 |
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|||||
B |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
B |
|
|
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
2 |
||||
B |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
B |
|
|
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
x1 |
|
32 |
|
||||||||
|
|
7 |
C |
|
0 x2 |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
= B |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
: |
|||||||||
13 |
C |
|
|
C |
40 |
||||||||
C B |
B |
C |
|
||||||||||
|
|
|
C |
|
B x3 |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
6 |
|
||||||||||||
C |
|
B |
C |
B |
C |
|
|||||||
|
|
|
C |
|
B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
||
|
|
|
C |
|
@ |
A |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
6 |
C |
|
x4 |
|
B |
4 |
C |
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
1 |
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делим третью строку на a0233 = 143 и вычитаем ее из четвёртой строки, домножив третью строку на a0243 = 23. Будем иметь
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
4 |
x1 |
|
32 |
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 0 x2 |
1 |
= B |
2 |
C |
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
3 |
3 |
: |
|||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
13 |
C |
|
C |
|
20 |
||||||||
B |
|
|
|
|
|
C B |
B |
C |
|
||||||||||
B |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
C |
B x3 |
C |
B |
|
7 |
|
C |
|
|||
28 |
|
|
|||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
C B |
C |
B |
|
C |
|
||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
1 |
C B x4 |
C |
B |
4 |
C |
|
|||||||
B |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
C B |
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|||
|
|
|
|
7 |
|
||||||||||||||
7 |
|
||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
C @ |
A |
B |
C |
|
|||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
8
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 шаг. Разделив четвертую строку на a443 = |
|
|
, получаем |
|||||||||||||||||||||||
7 |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
4 |
|
x1 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
4 |
|
7 |
C |
0 x2 |
1 |
32 |
|
||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= B |
|
|
|
C |
|
||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
: |
|||||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
C |
B |
|
C |
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
20 |
C |
|
|||||||||||||
B |
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C B x3 |
C |
B |
|
|
|
C |
|
||||||||||
28 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C B |
|
C |
B |
|
C |
|
||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C B x |
4 |
C |
B |
4 |
C |
|
||||||
B |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
C B |
C |
B |
C |
|
|||||||||||
B |
|
|
|
|
|
1 C B |
|
C |
B |
|
|
|
C |
|
||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C @ |
|
A |
@ |
|
|
|
A |
|
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 = 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x3 = |
20 |
|
13 |
4 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
32 |
|
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x1 = 2 4 |
|
0 0 1 4 4 = 3: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2.Задание к лабораторной работе «Метод Гаусса с выбором главного элемента»
1.Решить СЛАУ аналитически методом Гаусса с выбором главного элемента (табл. 1.1).
2.Написать программу решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента. Решить с ее помощью СЛАУ.
3.Оформить отчет по лабораторной работе:
а) теоретическая часть, б) аналитическое решение системы,
9
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
в) текст программы, г) результаты решения СЛАУ.
Таблица 1.1. Варианты задания для решения СЛАУ ~ с четырьмя неиз-
A~x = b
вестными в виде j~ методом Гаусса
)
b
A
(
|
|
№ вар. |
|
|
|
№ вар. |
|
|
|
№ вар. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
3 |
j19 |
2 |
1 |
1 |
2 |
j 5 |
1 |
0 |
2 4 |
j12 |
|
2 0 |
4 |
4 |
j22 |
4 |
3 |
3 |
2 |
j 3 |
0 |
1 |
3 |
1 |
j 2 |
|
3 5 |
4 |
1 |
j23 |
3 |
1 |
5 3 |
j 7 |
3 |
1 |
3 1 |
j 2 |
|||
4 |
4 |
1 0 |
j 21 |
5 |
1 |
1 |
0 |
j 11 |
3 |
3 |
0 |
2 |
j 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 2 |
3 |
4 |
j13 |
2 |
2 |
2 3 |
j 25 |
2 |
0 |
1 1 |
j 5 |
|||
5 2 |
4 |
2 |
j14 |
0 |
0 |
1 2 |
j 3 |
2 |
1 |
4 |
4 |
j33 |
||
4 |
3 |
2 1 |
j 2 |
4 |
3 |
4 4 |
j 48 |
3 |
1 |
3 3 |
j 3 |
|||
1 |
2 |
1 3 |
j 23 |
3 |
4 |
2 2 |
j 39 |
4 |
4 |
1 4 |
j 35 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 4 |
5 4 |
j 7 |
1 |
3 |
2 |
1 |
j11 |
2 |
1 |
2 3 |
j 7 |
|||
2 |
1 |
2 1 |
j 6 |
1 |
5 |
5 3 |
j 9 |
3 |
4 |
2 |
4 |
j46 |
||
4 |
0 |
0 |
4 |
j 12 |
4 |
0 |
0 |
0 |
j12 |
4 |
2 |
2 2 |
j 8 |
|
3 3 |
3 1 |
j 1 |
1 |
4 |
4 1 |
j 18 |
3 |
4 |
0 |
2 |
j22 |
10
Глава 1. |
Лекция 1 (1-й час) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1.1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
4 |
4 |
j 28 |
5 |
4 |
4 |
2 |
j27 |
2 |
0 |
1 |
1 |
j15 |
|
|
0 |
5 1 |
1 |
j 7 |
4 |
4 1 |
4 |
j 16 |
2 |
0 |
3 4 |
j 31 |
|
|||
|
2 |
2 |
4 |
2 |
j 8 |
3 |
2 |
1 |
1 |
j 4 |
3 |
4 |
1 |
1 |
j11 |
|
|
2 |
5 2 |
3 |
j45 |
1 |
3 |
2 |
2 |
j 2 |
5 |
3 |
1 |
2 |
j 34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
2 4 |
3 |
j 38 |
3 |
5 2 |
4 |
j 31 |
0 |
1 |
4 |
4 |
j20 |
|
||
|
2 |
4 5 |
5 |
j 10 |
3 |
1 |
0 |
1 |
j 2 |
1 |
3 |
1 1 |
j 15 |
|
||
|
0 |
2 |
2 |
4 |
j26 |
4 |
4 0 |
5 |
j 3 |
3 |
4 |
3 3 |
j 37 |
|
||
|
5 |
4 |
4 |
4 |
j 16 |
2 |
0 |
4 |
4 |
j 2 |
4 |
1 |
3 1 |
j 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 1 |
1 |
j 4 |
4 |
3 4 |
4 |
j 6 |
1 |
5 |
4 2 |
j24 |
|
|||
|
4 |
5 1 |
3 |
j 4 |
2 |
4 0 |
5 |
j 10 |
4 |
1 |
3 2 |
j15 |
|
|||
|
2 |
1 |
1 |
4 |
j28 |
3 |
3 0 |
3 |
j24 |
1 |
0 |
0 |
5 |
j 27 |
|
|
|
0 |
4 1 |
3 |
j 31 |
5 |
2 |
3 |
3 |
j 12 |
2 |
1 |
1 |
4 |
j 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 0 |
2 |
j 8 |
0 |
3 |
3 |
5 |
j 3 |
1 |
5 |
3 |
3 |
j30 |
|
|
|
3 |
4 3 |
4 |
j10 |
1 |
5 5 |
4 |
j 1 |
0 |
4 |
4 2 |
j 28 |
|
|||
|
4 |
3 4 |
3 |
j 6 |
3 |
5 1 |
1 |
j 16 |
0 |
4 |
2 3 |
j18 |
|
|||
|
2 |
2 |
5 |
3 |
j 5 |
2 |
0 |
4 |
2 |
j16 |
1 |
5 |
4 0 |
j10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 3 |
5 |
j 20 |
1 |
2 5 |
4 |
j25 |
2 |
0 |
3 |
0 |
j 8 |
|
||
|
4 |
4 3 |
1 |
j 35 |
0 |
2 |
3 |
1 |
j 5 |
4 |
3 |
2 4 |
j 3 |
|
||
|
5 4 3 |
4 |
j53 |
0 |
0 |
3 |
0 |
j 3 |
3 |
2 |
3 5 |
j 15 |
|
|||
|
1 |
3 2 |
0 |
j 22 |
4 |
2 |
1 |
4 |
j21 |
1 |
2 |
2 |
2 |
j 2 |
|
11
Глава 1. Лекция 1 (1-й час)
Окончание табл. 1.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
3 |
2 |
5 |
j11 |
2 1 |
1 |
3 |
j 7 |
4 |
4 |
1 3 |
j 14 |
||
0 |
1 1 |
3 |
j 1 |
4 3 |
0 |
4 j 21 |
3 |
1 |
1 1 |
j 10 |
||||
2 |
3 3 |
2 |
j 4 |
5 4 |
5 1 j 48 |
1 |
2 |
2 5 |
j 2 |
|||||
4 |
2 2 |
5 |
j25 |
1 |
3 |
4 |
3 j10 |
4 |
3 |
0 |
1 |
j14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 2 |
1 |
j 4 |
0 |
2 |
4 |
1 |
j 4 |
1 |
5 |
2 |
1 |
j 34 |
|
1 |
3 |
4 |
1 |
j 5 |
1 4 |
4 0 j 20 |
3 |
4 |
1 1 |
j36 |
||||
4 |
0 |
1 |
4 |
j 1 |
3 |
3 |
4 |
4 |
j 1 |
4 |
0 |
2 |
1 |
j21 |
1 |
2 |
1 |
4 |
j 8 |
2 |
4 |
3 2 |
j 21 |
5 |
0 |
3 |
4 |
j 33 |
12