Графики_Теория_для_ИБМ

1.

Функцией с областью определения D называется закон f, который каждому числу

(аргументу)

x D = D( f )

ставит

в

соответствие

единственное

число

y = f ( x) .

Множество

E( f ) = {f ( x) | x D} называется областью значения функции

f (x) . Если функция

f ( x) задана

формулой

y = A( x) , где A( x)

– некоторое выражение с переменной х, область определения

D( f ) этой функции совпадает с множеством допустимых значений переменной х в выражении

A( x) .

2.

Функция f (x)

называется возрастающей (убывающей) на множестве E R , если для любых

x1, x2 E

из

x1 < x2

следует

f ( x1) < f ( x2 )

(соответственно

f ( x1) > f ( x2 ) ). Возрастающие и

убывающие функции называются монотонными.

3.

Функция f ( x)

называется ограниченной сверху (снизу) на множестве

E R , если найдется

число m R ,

такое,

что

для

всех

x E

f ( x) ≤ m (соответственно

f ( x) ≥ m ). Функции,

ограниченные и сверху, и снизу, называются просто ограниченными.

4.

Функция f ( x)

называется четной (нечетной), если ее область определения D( f )

симметрична

относительно нуля и для всех x D( f )

f (− x) = f ( x) (соответственно f (− x) = − f ( x) ).

Соболев С.К. Функции и их графики

2

График последней есть гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных (в

разномасштабной декартовой плоскости) относительно прямых y = x и y = − x , и имеющих

асимптоты – оси ОХ и ОY. При k > 0 график занимает I и III четверти, а при

k < 0 – II и IV

четверти (см. Рис. 2).

Y

Y

X

O

O

X

k < 0

k > 0

Рис.2

9.

Функция вида

y = ax + b

называется линейной,

вида

y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) –

квадратичной,

вида y = P( x)

называется целой, а функция вида

y =

P( x)

– рациональной (P(x) и Q(x) – неко-

Q( x)

торые многочлены). Свойства этих функций и их графики были рассмотрены в главах 4 – 6.

10.

Композицией функций

f ( x)

и

g ( x)

(в указанном порядке) называется сложная функция

f (g ( x)). Функция

g ( x) = f −1 ( x)

называется обратной к функции f ( x) , если

f (g ( x)) = x для

всех

x D( g)

и

g ( f ( x)) = x

для всех

x D( f ) . Области определения и значений прямой и

обратной

функции меняются

местами:

D( f −1) = E( f ) ,

E( f −1) = D( f ) . Графики взаимно

обратных функций симметричны (в равномасштабной декартовой плоскости!) относительно

прямой y = x .

Если функция y = f ( x) возрастает (убывает) на D( f ) , то она имеет обратную

функцию

f −1( f ) ,

которая тоже возрастает (убывает)

на

D( f −1) = E( f ) . Функция y = n

при

x

нечетном

n N является обратной к функции y = xn , а при четном n – обратной к функции

y = xn

на множестве

x ≥ 0 . Для

нахождения функции, обратной к функции

y = f ( x) , надо

поменять местами х и y:

x = f ( y) , а затем выразить y через х (если это возможно):

y = f −1 ( x) .

(а)

ax + bx + c = 0

(a 2 + b 2 ≠ 0) – прямая линия, перпендикулярная вектору m(a; b) ;

(б)

y − y0 = k ( x − x0 )

– прямая с угловым

коэффициентом k,

проходящая

через точку

M 0 ( x0 , y0 );

(в)

( x − x )2 + ( y − y

0

)2

= R2 – окружность

(в

равномасштабной

плоскости!)

радиуса R с

0

центром в точке C( x0 , y0 );

(г)

y − y = a( x − x )2

– парабола с осью

симметрии,

параллельной оси

ОY

и вершиной

0

0

V ( x0 , y0 ) , при

a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0

–вниз;

(д)

x − x = a( y − y

0

)2

– парабола с осью симметрии,

параллельной оси

ОХ и вершиной

0

V ( x0 , y0 ) , при

a > 0 ветви направлены вправо, при a < 0 – влево;

Соболев С.К. Функции и их графики

3

(е)

( x − x0 )( y − y0 ) = k – гипербола (при k ≠ 0 )

y − y0 =

k

с асимптотами x = x0 и y = y0 ,

x − x0

либо (при k = 0 ) пара прямых x = x0 и y = y0 .

12. Пусть в R 2

заданная линия

F ( x, y) = 0

или график функции

y = f ( x) , которую (который)

обозначим #. Тогда:

(а)

линия

F ( x − a, y − b) = 0

(или график y − b = f ( x − a) y = b + f ( x − a) )

получается из #

параллельным переносом вдоль ОХ на а единиц и вдоль оси 0Y на b единиц, т.е. на вектор

m(a ; b) ;

(б) линия F (kx, my) = 0

(или график my = f (kx) y =

1

f (kx) ), где k > 0,

m > 0 получается

m

из

# сжатием вдоль оси ОХ в k раз и вдоль оси 0Y в m раз; если k < 1 или m < 1 , то имеет

место растяжение в

1

или

1

раз, соответственно;

k

m

(в)

линия

F (− x, y) = 0

(график

y = f (− x)) получается

из

# полным

отражением

относительно оси ОY,

а линия

F ( x,− y) = 0

(график

y = − f (x))

получается

из # полным

отражением относительно оси ОX;

, y) = 0

(или график y = f (

x

)) симметрична относительно оси ОY и совпадает

(г) линия F (

x

с # при x ≥ 0 . Линия

) = 0

симметрична относительно оси ОХ и совпадает с # при

F ( x,

y

y ≥ 0 . График функции y =

f (x)

получается из графика y = f ( x)

сохранением его в области

y ≥ 0 и полным отражением относительно ОХ той его части, которая находится в области

y ≤ 0 ;

(д)

линия

F ( y, x) = 0

получается из

линии

F ( x, y) = 0 (в

равномасштабной декартовой

Соболев С.К. Функции и их графики

4

2x − 6

(а)

y =

;

(б)

y =

1 − 2x + 9

.

x −1

− 2

2x − 6

y =

2 x − 6

= −2 +

8

y =

= 2 ( x ≠ 3) , а если

Решение.

(а)

Если

x ≥ 1

то

x < 1 , то

. График

x − 3

1 − x − 2

x + 1

состоит в

области

x ≥ 1

из

прямой y = 2 с выколотой

точкой

A(3; 2) , а в

области

x < 1 – из

гиперболы, полученной из графика y =

8

сдвигом на 1 влево и на 2 вниз (см. рис. 3);

x

(б) Последовательно строим графики (см. рис 4):

(1º) y =

x ;

(2º)

y =

x + 9

(сдвиг на 9 влево),

(3º)

y =

2x + 9 (сжатие в два раза вдоль оси 0Х),

(4º)

y = − 2 x + 9 (полное отражение относительно оси 0Х,

(5º)

y = 1 −

2x + 9 (сдвиг на 1 вверх),

(6º)

y =

1 −

2 x − 9

(выше оси OХ предыдущий график сохраняется, а та его часть, которая

(4ºº)

y =

2 x + 9 − 1 (сдвиг на 1 вниз) и (5ºº) y =

2 x + 9 −1

=

1 −

2 x + 9

.

Y

Y

3º

6

3

2

A

2º

6º

2

1

1º

X

–1

1 3

X

– 9

–4.5

4

O

–2

5º

4º

Рис 3

Рис. 4

Пример

3.

Нарисовать на декартовой

плоскости

множество

точек,

заданное неравенством

5x + 3 y − 2

< y + 4 − 3x .

Решение. По правилу раскрытия модуля неравенство равносильно системе

5x + 3 y − 2 < y + 4 − 3x

4 x + y −

3 < 0

y < 4 − 3x

x + 1 ,

5x

+ 3 y − 2 > − y − 4 + 3x

x + 2 y +

1 > 0

y > −

2

которая

задает

пересечения

двух

полуплоскостей,

ограниченных прямыми y = 3 − 4x (ниже ее)

и y = −

x + 1

Y

2

(выше нее), граница области D в нее не

входит,

т.к.

3

неравенства строгие (см. рис. 6).

D

Рис.5

1

–1

X

Соболев С.К. Функции и их графики

5

1.

Степень a x с основанием

a > 0

определена при

любом показателе x R обладает

следующими свойствами (а, b > 0):

(а) a x b x = (ab)x ;

(б) a x : b x = (

a

)x ;

b

(в) a x a y = a x+ y ;

(г) a x : a y = a x− y ;

(д) (a x )y = (a y )x = a x y .

2.

Показательная

функция

y = a x ,

где a = const > 0,

a ≠ 1 ,

обладает

следующими

свойствами:

(а) определена при всех x R ;

(б) ее область значения есть R + = (0; +∞);

(в) при a > 1 возрастает на R , а при 0 < a < 1 убывает на R ;

(г) если a > 1 , то a x → 0

при x → −∞ , а если 0 < a < 1 , то a x → 0

при x → +∞ , т.е. ось

OX является горизонтальной асимптотой графика y = a x ;

(д) графики всех показательных функций пересекают ось ОY в точке A(0;1). Графики

функций y = a x и y = (1 )x

= a− x

симметричны относительно оси ОY; (Рис. 6)

a

(е) показательную функцию y = a x

не следует путать со степенной y = xa

(a = const) .

3.

Числом e

называется значение, к

которому приближаются члены

последовательности

a = (1 + 1 )n

при неограниченном возрастании n N (т.е. при n → ∞ ). Число e = 2.71828…

n

n

иррационально и при любом n N удовлетворяет двойному неравенству

(1 +

1 )n

< e < (1 +

1

)n+1 .

(1)

n

n

График

показательной

функции

y = ex = exp( x)

касается в

точке

A(0;1) прямой y = x + 1

(см. Рис.6).

4.

Логарифмом числа b > 0

по основанию a > 0 ,

a ≠ 1 называется число c = loga b такое, что

ac = b .

Логарифмы

числа

x > 0 по

основанием 10

и

e

называется десятичным и

натуральным и обозначаются lg x и lnx соответственно.

5.

Алгебраические свойства логарифмов (x, y > 0, a, b > 0

a ≠ 0, b ≠ 1,

p R ) :

(а) loga ( xy) = loga x + loga

y;

(б) loga (

x

) = loga x − loga y;

y

(в) loga ( x p ) = p loga x;

(г) loga b logb x = loga x;

(д) logb x =

loga

x

(е) log

p ( x) =

1

( p ≠ 0);

;

a

loga x

loga b

p

1

= logb a;

(ж)

loga b

Следует иметь в виду, что при x ≠ 0 и четном n N

(з) loga ( xn ) = n loga

x

.

6.

Логарифмическая функция y = loga x , где a > 0 , a ≠ 1 , обладает следующими свойствами:

(а) она является обратной к соответствующей показательной функции y = a x . Это значит,

что справедливы тождества a

loga x

≡ x

( x > 0)

и loga (a

x

) ≡ x ( x R ), а графики функций

y = a x и

y = loga x

симметричны относительно прямой

y = x (при равенстве масштабов

по осям ОX и ОY);

Соболев С.К. Функции и их графики

6

(б) определена при всех x > 0;

(в) принимает все значения y R ;