1 Закон больших чисел (идея).
Закон больших чисел – это одна из подгрупп предельных теорем(вторая подгруппа – это центральные предельные теоремы), описывающих свойства случайных величин, зависящих от других случайных факторов. Согласно этому закону, при большом числе испытаний средние значения с.в. обладают устойчивостью и их можно предсказать с определенной точностью.
2 Эксцесс
Эксцесс – коэффициент островершинности (σ – сигма - среднее квадратическое отклонение)
3 Плотность распределения многомерной с.в.
Плотность распределения двумерной с.в. – это такой закон распределения, выраженный функцией f(x,y), которая получена путем взятия смешанной второй производной (по у и по х) от функции распределения F(x,y).
4 Реализация выборки
Это конкретные значения, полученные в результате испытаний
5 Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0.9, 8 – с вероятностью 0.5 и 5 – с вероятностью 0.6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Какова вероятность, что стрелок принадлежал третьей группе?
Вероятности промахов стрелков:
1 группы: 1-0,9 = 0,1
2 группы: 1-0,5 = 0,5
3 группы: 1-0,6 = 0,4
Введем полную группу гипотез:
H1 = (Стрелок принадлежал первой группе),
H2 = (Стрелок принадлежал второй группе),
H3 = (Стрелок принадлежал третьей группе).
По классическому определению вероятности:
Введем событие A = (Стрелок не попал в мишень). Выпишем условные вероятности:
Найдем сначала вероятность события A по формуле полной вероятности:
Теперь найдем апостериорную вероятность того, что стрелок принадлежал 3ей группе, если он попал в цель, по формуле Байеса.
6
Случайная величина распределена по
закону
.
Вероятность попадания в интервал (0, 2)
равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной
величины.
Дисперсия, по определению, равна D(X) = σ2
Вероятность попадания в интервал:
P(α<x<β)
=
, где:
α, β – границы интервала
a – мат. ожидание
σ – стандартное квадратичное отклонение
Ф – нормированная функция Лапласа (значения берутся из таблицы).
Таким образом, подставляя имеющиеся данные, получается:
Самое близкое табличное значение к 0,35: Ф(1.04) = 0.3508. Таким образом:
σ = 1 / 1,04
σ = 0,96
Таким образом:
D(X) = σ2 = 0,962 = 0,9216
7 Совместное распределение системы случайных величин X и Y имеет вид:
Найти значение постоянной с, плотности распределения случайных величин X и Y, совместную функцию распределения, ковариацию, проверить независимость X и Y.
Для начала найдем постоянную с:
Плотности распределения X и Y:
Проверка независимости:
(X,Y)
=
(X)*
(Y)
⇒ Величины зависимы
8 Найти точечные оценки параметра экспоненциального распределения с помощью метода моментов и метода максимального правдоподобия.