1 Случайное событие. Достоверное событие. Невозможное событие.
Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается символом – W.
Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие обозначается символом – Æ.
Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.
Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.
Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.
2 Свойства функции распределения вероятностей.
Функция распределения лежит в пределах от 0 до 1 включительно
Функция распределения – неубывающая функция
Функция распределения от минус бесконечности равна 0, от плюс бесконечности =1
Функция распределения непрерывна в любой точке
Вероятность попадания случаной величины в промежуток от a до b равна разности Функции распределения от b и Функции распределения от a
3
- прямоугольник,
- непрерывная с.в.
Это геометрическое представление совместной вероятности двух событий P(X<x,Y<y). Прямоугольник B – это 2 интервала, по горизонтали – крайние значения интервала для события X, по вертикали – для Y.
Чтобы определить вероятность попадания в интервал, необходимо посмотреть, какие значения X и Y попадают в соответствующий для каждой переменной интервала и сложить соответствующие вероятности.
4 Несмещенная выборочная дисперсия.
Количество элементов n, делённое на n-1 и умноженное на найденную выборочную дисперсию называется несмещённой выборочной дисперсией
5 Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0.9, незнание с вероятностью 0.2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные знают все билеты?
6
Непрерывная случайная величина
задана своей плотностью распределения
вероятностей:
Найти значение постоянной a, функцию распределения, M и P(-2< <0).
Так как все значения случайной величины заключены на интервале (-3, 1), то
,
откуда
= 1 или
,
5a=1, a=
Таким образом, функция распределения будет иметь вид:
Вычисляем математическое ожидание:
Вычисляем вероятность попадания в промежуток: P(-2<x<0)
P(-2<x<0)
= Ф(
)-Ф
, где
Ф - Ф
– нормированная функция Лапласа
(значения берутся из таблицы).
σ – Среднеквадратичное ожидание, его можно найти через дисперсию:
D(X)
= σ2
=
D(X)
=
=
=
σ
=
=
P(-2<x<0)
= Ф(
)-Ф
= Ф(
)-Ф
)
= Ф(
)-Ф
)
= Ф
≈ Ф(1,58) = 0.4429
7
Случайная величина X
имеет равномерное распределение на
отрезке [-1,1]. Найти плотность распределения
и математическое ожидание случайной
величины
.
Функция
не монотонна:
,
,
где φ
– функция х.
,
Теперь можем выразить плотность распределения с.в. Y через плотность распределения Х:
=
=
Теперь можем выразить математическое ожидание:
Поскольку в данном случае с.в. имеет равномерное распределение, плотность распределения X будет выражена следующим образом:
Теперь можем окончательно представить выражения плотности распределения с.в. Y и математического ожидания:
8 Дана выборка: 1 1 8 1 4 4 0 0 6 4.
Построить вариационный ряд, статистический ряд и эмпирическую функцию распределения, найти размах выборки, интервал варьирования, выборочную моду, выборочную медиану, выборочные верхнюю и нижнюю квартили, выборочное среднее, выборочную дисперсию и несмещенную дисперсию. Построить полигон частот.
Упорядоченный (вариационный) ряд:
0 0 1 1 1 4 4 4 6 8
Статистический ряд:
-
xi
0
1
4
6
8
ni
2
3
3
1
1
pi*
0.2
0.3
0.3
0.1
0.1
Эмпирическая функция:
Размах выборки: 8
Интервал варьирования:
[0, 8]
Выборочная мода: 1, 4
Выборочная
медиана:
Выборочный нижный квартиль:
Выборочный верхний квартиль
Выборочное среднее:
Выборочная дисперсия:
Несмещенную дисперсию
Построить полигон частот
