1 Несовместные и попарно-несовместные события.
Случайные события А и В называются несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление другого события. Несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет на занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное.
"Попарно" означает, что все возможные события разбиты на пары, и совместимость/несовместимость имеет место в каждой паре событий НЕЗАВИСИМО от других пар.
Т. е. если произошло событие, то другое событие из той же пары - невозможно. При этом то, какое из двух событий произошло, не влияет на другие пары событий.
Пример: идёт дождь - безоблачное небо; инфляция возросла - цены упали.
Эти события - попарно несовместимы - если идёт дождь - не может быть безоблачного неба и наоборот.
И то, и другое происходит независимо от инфляции.
Также - и в другой паре - либо цены падают, либо инфляция растёт - и то, и другое происходит в любую погоду.
2 Свойства плотности распределения вероятностей.
1) плотность распределения неотрицательна
2)она нормирована: интеграл от плотности от минус бесконечности до плюс бесконечности равен единице
3) Вероятность попадания случайной величины в промежуток от a до b равна интегралу от плотности распределения на данном промежутке
4) Функция распределения равна интегралу плотности распределения по t на отрезке от минус бесконечности до x
5) предел плотности распределения при x стремящейся к +- бесконечности равен нулю
График плотности распределения – кривая распределения
3 Совместная функция распределения многомерной с.в.
(тут хз, вроде как, 2 и 3 пункт это одно и то же)???
4 Выборочная дисперсия.
Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений всех вариант выборки от ее средней (то есть суммируем значения разности элемента и выборочного среднего, возводя в квадрат, а потом делим на количество элементов)
5
Вероятности безотказной работы в течение
гарантийного срока отдельных элементов
цепи равны соответственно
.
Отказы отдельных элементов цепи
независимы. Определить вероятность
обрыва цепи в течение этого срока.
X – цепь работает
-X – цепь не работает
pn – вероятность успешной работы
qn – вероятность отказа
An – событие
В данном случае получилось 2 группы событий: в первой элементы 1,2,3 и 4, во второй – элементы 5, 6 и 7.
Цепь будет работать, если будет выполнено следующие условие:
X = (A1 * A2 + A3 * A4) * (A5 * A6 + A7)
Считаем вероятность:
P(X) = P((A1 * A2 + A3 * A4) * (A5 * A6 + A7)) = P(A1 * A2 + A3 * A4) * P(A5 * A6 + A7)
Раскрываем сумму:
P(X) = (P(A1 * A2) + P(A3 * A4) – P(A1) * P(A2) * P(A3) * P(A4)) * ((P(A5 * A6) + P(A7) – P(A5) * P(A6) * P(A7))) =
(P(A1) * P(A2) + P(A3) * P(A4) – P(A1) * P(A2) * P(A3) * P(A4)) * ((P(A5) * P(A6) + P(A7) – P(A5) * P(A6) * P(A7)))
Теперь заменяем P(An) = pn, получаем:
P(X) = (p1 * p2 + p3 * p4 – p1* p2 * p3 * p4) * (p5 * p6 + p7 – p5* p6 * p7)
Полученное выражение – вероятность успешной работы цепи. Вероятность отказа цепи:
=
1 – ((p1
* p2
+ p3
* p4
– p1*
p2
* p3
* p4)
* (p5
* p6
+ p7
– p5*
p6
* p7))
6
Случайная величина распределена по
закону
.
Вероятность попадания в интервал (0, 10)
равна 0,8. Найти дисперсию этой случайной
величины.
Дисперсия, по определению, равна D(X) = σ2
Вероятность попадания в интервал:
P(α<x<β)
=
, где:
α, β – границы интервала
a – мат. ожидание
σ – стандартное квадратичное отклонение
Ф – нормированная функция Лапласа (значения берутся из таблицы).
Таким образом, подставляя имеющиеся данные, получается:
Самое близкое табличное значение к 0,4: Ф(1,29) = 0.4015. Таким образом:
σ = 5 / 1,29
σ = 3,876
Таким образом:
D(X) = σ2 = 3,8762 = 15,023
7 Совместное распределение системы случайных величин X и Y имеет вид:
-
X\Y
1
2
3
4
1
0.1
0.15
0.04
0
2
0.12
0.08
0.05
0.1
3
0.04
0.02
0.1
с
Найти
значение постоянной с, законы распределения
случайных величин X и Y , совместную
функцию распределения, ковариацию,
,
,
проверить независимость X и Y.
Поскольку полная сумма вероятностей в таблице равна единице, постоянная с равна: с = 1- 0.1 - 0.12 - 0.04 - 0.15 - 0.08 - 0.02 - 0.04 - 0.05 - 0.01 - 0 - 0.1 = 0.2
Таким образом, совместное распределение системы (X,Y):
-
X\Y
1
2
3
4
1
0.1
0.15
0.04
0
2
0.12
0.08
0.05
0.1
3
0.04
0.02
0.1
0.2
Закон распределения случайной величины X:
X |
1 |
2 |
3 |
P |
0,29 |
0,35 |
0,36 |
Закон распределения случайной величины Y:
Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
p |
0,26 |
0,25 |
0,19 |
0,3 |
Совместная функция распределения:
-
X\Y
y≤1
1<y≤2
2<y≤3
3<y≤4
y>5
x≤1
0
0
0
0
0
1<x≤2
0
0,1
0,25
0,29
0,29
2<x≤3
0
0,22
0,45
0,54
0,64
x>3
0
0,26
0,51
0,7
1
Ковариация cov(X,Y) = M(X·Y) – M(X)·M(Y)
M(X) = 1*0,29 + 2*0,35 + 3*0,36 = 2,07
M(Y) = 1*0,26 + 2*0,25 + 3*0,19 + 4*0,3 = 2,53
M(X·Y) = 1*1*0,1 + 1*2*0,15 + 1*3*0,04 + 2*1*0,12 + 2*2*0,8 + 2*3*0,05 + 2*4*0,1 + 3*1*0,04 + 3*2*0,02 + 3*3*0,1 + 3*4*0,2 = 0,2
cov(X,Y) = 0,2 - 2,07 * 2,53 = -5,0371
,
Чтобы определить вероятность попадания в интервал, необходимо посмотреть, какие значения попадают в интервал и сложить соответствующие вероятности
P(0≤X≤1, 0≤Y≤2) = FXY(X=1, Y=1) + FXY(X=1, Y=2) = 0,1 + 0,15 = 0,25
C. в. Будут независимы, если выполняется условие:
P(X = xi, Y = yi) = P(X = xi) P(Y = yi)
P(X = 1, Y = 1) = 0,1
P(X = 1) P(Y = 1) = 0,26 * 0,29 = 0,0754
0,0754 ≠ 0,1, следовательно, величины зависимы
8 Дана выборка: 5 9 7 2 5 9 4 0 1 4 6 8 8 1 0 4 1 1 1 3.
Построить вариационный ряд, выполнить группировку данных, построить статистический ряд и эмпирическую функцию распределения, найти размах выборки, интервал варьирования, выборочную моду, выборочную медиану, выборочные верхнюю и нижнюю квартили, выборочное среднее, выборочную дисперсию и несмещенную дисперсию. Построить гистограмму.
Упорядоченный (Вариационный) ряд: 00111112344455678899
Статистический ряд:
-
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ni
2
5
1
1
3
2
1
1
2
2
pi*
0,1
0,25
0,05
0,05
0,15
0,1
0,05
0,05
0,1
0,1
Эмпирическая функция:
Размах выборки:
Интервал варьирования:
Выборочная мода: 1
Выборочная медиана:
Выборочный верхний квартиль:
Выборочный нижний квартиль:
Выборочное среднее:
Выборочная дисперсия:
Несмещенная дисперсия:
Гистограмма:
