Добавил:

without_me Я и кто? Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Презентации / PZ_6_DiskrSV.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

11.12.2022

Размер:

279 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Дискретные случайные величины

Практическое занятие по Теории вероятностей и математической статистике

•	Необходимо уметь:
•	Строить закон распределения с.в. X по условиям задачи
	P( X xi ) pi (представлять его в виде ряда и
	многоугольника распределения).

•Строить функцию распределения вероятностей с.в. FX (x), зная закон распределения и наоборот.

•Вычислять числовые характеристики с.в. MX , DX , X и др., зная закон распределения.

•Вычислять вероятность попадания с.в. в интервал P(a X b),

зная закон распределения.

Для построения закона распределения необходимо правильно определить какие значения может принимать с.в. и вычислить вероятности всех этих значений.

Задачи

• 6.8.1,6.8.8. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно извлекаются шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения с.в. X - числа извлеченных шаров. Найти функцию распределения и числовые характеристики.

•Решение. Определим, какие значения может принимать с.в. X . Минимальное значение X 1, т.к. по крайней мере 1 шар необходимо извлечь. Максимальное значение X 4, т.к. четвертый шар точно будет белым. Вычислим вероятности:

p P( X 1) 4			, p P( X 2) 3 4 2 ,					p P( X 3) 3 2 4					4	,
p P( X 1) 4			, p P( X 2) 3 4 2 ,					p P( X 3) 3 2 4						,
1	7		2			7 6	7	3			7 6 5	35
	7					7 6	7	4			7 6 5	35
	P( X 4) 3 2 1 4			1				4
p4				1	.	Для проверки: pi 1
p4				35	.	Для проверки: pi 1
	7		6 5 4	35						i 1
Запишем ряд распределения:

		xi	1			2		3			4
		pi	4			2			4		1
		pi	7			7		35			35

•Для получения многоугольника распределения, представим данные таблицы графически.

• Функция распределения									F (x) P( X x), x R1
									X
x ( ,1]			FX (x) P( X 1) 0								4
x (1, 2]	F (x) P( X 2)								P( X 1)		4
		X										7					2 6
x (2,3]		F (x) P( X 3)							P( X 1)			7
x (2,3]		F (x) P( X 3)							P( X 1)		P( X 2) 4
			X											7			7	7
x (3, 4]	F (x) P( X 4) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 4																		2	4	34
x (3, 4]	F (x) P( X 4) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 4																		2		34
		X																7	7	35	35
			F (x) P( X ) 4 2										4		1			7	7	35	35
x (4, )													4		1	1
x (4, )																1
				X					7	7		35		35
									7	7		35		35
	0,			x 1
		4	,	1 x 2
		7	,	1 x 2
		7
	4			2		6	,	2 x 3
FX (x)		7		7		7	,	2 x 3
		7		7		7		34
		4		2		4		34
		7		7				35 ,	3 x 4
		7		7	35			35 ,	3 x 4
				x 4
	1,			x 4

• Числовые характеристики:

MX xi	pi 1 4 2 2		3 4		4 1		56		1.6
n
i 1	7	7		35		35		35
n		1 4		4 2			4	16 1
DX xi2 pi MX 2						9	4			1.62	0.64
DX xi2 pi MX 2						9				1.62	0.64
i 1			7		7	35			35
X DX 0.8
• Момент	порядка:

			n
•	Центральный момент k-го порядка:
	k MX	k	xi pi
			k
			i 1
•	Мода распределения: n
	k M X		MX k xi MX k pi

i 1

X 1

• Вероятность попадания в интервал:			P(a
• Вероятность попадания в интервал:			P(a		X			b),
P( 10 X 3) P( X 1) P( X 2)				4		2
				7		7
P( X 2) P( X 3) P( X 4)		4		2				6
P( X 2) P( X 3) P( X 4)							35
	35		35				35
Смотрим, какие значения	попадают в интервал и складываем
соответствующие вероятности.
X

•

6.8.4,6.8.25. Три

стрелка,

ведущие

огонь

по цели, сделали по

одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно

равны 0.5, 0.6, 0.8. Построить ряд и функцию распределения с.в. X

числа попаданий в цель. Найти числовые характеристики.

•

Решение. Минимальное значение

, т.к. в цель может не

попасть никто. Максимальное значение

если в цель попадут все

трое. Вычислим вероятности:

X 0

X 3,

- никто не попал

- попал только один

p1 0.5 0.4 0.2 0.04

0.5 0.4 0.2 0.5 0.6 0.2 0.5 0.4 0.8 0.26 - попали только двое

- все попали

0.5 0.6 0.2 0.5 0.6 0.8 0.5 0.4 0.8 0.46

Запишем ряд распределения:

p4 0.5 0.6 0.8 0.24

pi 1

i 1

0.04

0.26

0.46

0.24

•	Функция распределения				F	(x) P( X x), x R1
					F	(x) P( X x), x R1
					X
	0,	x 0
			0 x 1
	0.04,		0 x 1
				1 x 2
	FX (x) 0.04 0.26 0.3,			1 x 2
	0.04 0.26 0.46 0.76,					2 x 3
		x 3
•	1,	x 3
•	Числовые	характеристики:

MX xi pi 0 0.04 1 0.26 2 0.46 3 0.24 1.9

i 1

DX xi2 pi MX 2 0 0.04 1 0.26 4 0.46 9 0.24 1.92 0.65

•Вероятностьi 1 попадания в интервал:

X DX 0.81

P(1 X 3) P(X 1) P( X 2) 0.26 0.46 0.72

•	6.8.10 б). Задана функция распределения с.в.					X.	Найти ряд
	распределения.			0,	x 1
				0,	x 1
					1 x 3
				0.2,	1 x 3

				FX (x) 0.35, 3 x 6
					6 x 8
	Решение. Значениями с.в.			0.8,	6 x 8
	Решение. Значениями с.в.			будут концы интервалов значений
				1,	x 8

	Т.е.						FX (x).
	Т.е.			X			FX (x).
		X 1,3,6,8
	p1 0.2
	p2 0.35 0.2 0.15
	p3 0.8 0.35 0.45				4
	p4 1 0.8 0.2				pi 1
	p4 1 0.8 0.2				i 1

		xi	1	3	6	8
		pi	0.2	0.15	0.45	0.2

• 6.8.5. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0.98. Построить ряд распределения с.в.

X	числа опусканий монет в автомат до первого правильного

срабатывания автомата. Найти вероятность того, что будет опущено 5 монет. Решить те же задачу при условии, что в наличии всего 3 монеты.

•Решение. Заметим, что в первом варианте задачи количество монет не ограничено, т.е. с.в. X может принимать сколь угодно большое целое значение. Минимальное же ее значение равно 1.

p1 0.98
p2 0.02 0.98 0.0196
p3 0.022 0.98 0.000392									pi 1
p4 0.02		3	0.98 0.00000784						i 1
		3							i 1
p5 0.024 0.98 0.0000001568						- вероятность, что будет опущено 5
монет		xi		1	2	3	4	5	…
монет		xi		1	2	3	4	5	…
	pi			0.98	0.0196	0.000392	0.00000784	0.0000001568
	pi
• С.в.	X имеет геометрическое распределение с законом

P( X m) qm 1 p

•	Если в наличии всего 3 монеты, то максимальное значение с.в. X 3
	p1 0.98
•	p2 0.02 0.98 0.0196			- т.к. при опускании 3 монеты автомат
		2
	может сработать или нет, но опыт все равно закончится.
	p3 0.02		(0.98 0.02)	0.0004

3
pi 1
i 1

xi	1	2	3
pi	0.98	0.0196	0.0004
pi

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Презентации

#
11.12.20221.79 Mб4Lektsia3_Vidy_raspredeleniy.pptx
#
11.12.2022292.15 Кб9Lektsia4_Dvumernye_s_v.pptx
#
11.12.2022334.19 Кб5Lektsia56_FunktsiiSV_predelnye_teoremy.pptx
#
11.12.2022279 Кб10PZ_6_DiskrSV.pptx
#
11.12.2022171.8 Кб4PZ_7_NeprSV.pptx

Дискретные случайные величины

Задачи

•Для получения многоугольника распределения, представим данные таблицы графически.

• Числовые характеристики:

• Вероятность попадания в интервал: