Смысл ЗБЧ:

Рассмотрим строгие формулировки ЗБЧ при различных условиях

Вспомогательные неравенства, которые можно использовать для оценки вероятностей событий, связанных со с.в., распределение которой неизвестно:

Теорема (ЗБЧ в форме Чебышева). Если над с.в. X производится

Теорема (ЗБЧ для различных с.в. с форме Чебышева). Если с.в.

Т.е. среднее арифметическое большого числа с.в. Как угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий. Поэтому, например, при измерении какой-либо величины в отсутствие систематической погрешности именно среднее арифметическое от результатов всех измерений принимается за истинное значение с.в.

Центральная предельная теорема

Все условия, в которых выполняется центральная предельная теорема в различных формулировках, сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было равномерно малым, т.е. чтобы в состав суммы не входили слагаемые, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на распределение суммы.

Простейшая формулировка ЦПТ получается, когда с.в. одинаково распределены.

имеющие конечную дисперсию, то функция распределения центрированной и нормированной суммы этих с.в.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Рассмотрим схему Бернулли. Как известно, с.в. X - число (m)

успехов в схеме Бернулли имеет биномиальное распределение, т.е. ее закон распределения имеет вид: P( X m) Cnm pmqn m.

При больших n применение этой формулы затруднительно, поэтому возникает необходимость в асимптотических приближенных формулах.

Впервые формула такого рода была найдена Муавром для частного случая p q 0.5, а затем обобщена Лапласом для произвольного p

На практике теорему можно применять, если n - велико, а p и q не очень близки к нулю ( n 100, npq 20 ), тогда

Если p или q близки к нулю, эта формула начинает плохо работать, в таком случае следует применять теорему Пуассона (закон редких событий).