Функции от случайных величин
Лекция по Теории вероятностей и математической статистике
Пусть имеется вероятностное пространство |
( ,U ,,P) |
и на нем задана случайная величина X ( ) |
. Пусть также |
имеется некоторая функция y (x). Этой функцией можно подействовать и на случайную величину X . В результате получим новую случайную величину:
Y ( X ) ( X ( ))
Задача: зная вероятностные характеристики с.в. и функцию
найти вероятностные характеристики
Функции от дискретной случайной величины
Если с.в. X дискретная с законом распределения
pi P(X xi ), i 1, n, |
|
то с.в. Y ( X ) также будет дискретной с законом: |
|
pj P(Y yj ), y j (xi ). |
|
Числовые характеристики: |
|
m |
n |
MY M ( ( X )) yj pj (xi ) pi , |
|
j 1 |
i 1 |
m |
n |
DY D( ( X )) ( yj MY )2 |
pj ( (xi ) MY )2 pi , |
j 1 |
i 1 |
• Если функция ( X ) монотонна, то каждому значению X
cоответствует единственное значение Y , причем вероятности соответствующих значений одинаковы .
Пример. Y X 3 X 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
1 |
2 |
3 |
|||
|
|
pi |
0.3 |
0.3 |
0.4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yj |
|
3 |
|
11 |
|
31 |
|
|
p j |
|
0.3 |
|
0.3 |
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Если функция ( X ) немонотонна, то различным значениям
X может cоответствовать одно значение Y . В этом случае для отыскания вероятности значений Y необходимо сложить вероятности всех значений , соответствующие данному значению . X
Пример. Y
Y X 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
-1 |
0 |
1 |
||
|
|
pi |
0.3 |
0.3 |
0.4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yj |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
p j |
|
0.3 |
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Функции от непрерывной случайной величины |
|||||||||||||
• Теорема. Если с.в.X - непрерывна с плотностью |
pX (x) |
, |
|||||||||||||
а функция |
- дифференцируема и монотонна, то плотность |
||||||||||||||
распределения с.в. |
|
|
выражается формулой: |
|
|||||||||||
|
|
|
Y ( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p ( y) p ( 1 |
( y)) |
|
d 1 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Если |
|
строго |
|
возрастает: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y |
|
X |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( y) P(Y y) P( ( X ) y) P( X 1( y)) F ( 1( y)) |
||||||||||||||
Если |
Y |
строго убывает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
1 ( y) |
|
|
|
|
|
|||
|
pY ( y) FY ( y) FX ( 1( y)) |
pX ( 1( y)) |
|
0. |
|
|
|||||||||
|
dy |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( y) P(Y y) P( ( X ) y) P( X 1( y)) 1 F |
X |
( 1 |
( y)) |
||||||||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p ( y) p |
X |
( 1( y)) d 1 ( y) 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Следствие. Если функция не является монотонной, то интервал значений X следует разбить на промежутки монотонности, на каждом из них применить теорему и найти
pYi ( y) , а затем вычислить:
pY ( y) pYi ( y)
i
Числовые характеристики:
MY M ( ( X )) (x) pX (x)dx,
DY D( ( X )) ( (x) MY )2 pX (x)dx.
Предельные теоремы теории вероятностей
•Предельные теоремы возникают в задачах, в которых рассматриваются с.в., являющиеся суммами большого числа других с.в. (т.е. с.в., зависящие от многих случайных факторов). Некоторые свойства таких с.в. описываются совокупностью предельных теорем.
• Предельные теоремы
|
|
|||||
Закон больших чисел устанавливает |
Центральная предельная теорема |
|||||
предельные значения с.в. |
|
Устанавливает |
предельные |
распре- |
||
|
|
|
|
деления с.в. |
|
|
Группа теорем, которые устанавливают |
Группа теорем, которые устанавливают, |
|||||
устойчивость |
средних |
значений: |
при |
что при достаточно общих и |
||
большом числе испытаний (в которых |
естественных |
условиях |
закон |
|||
с.в. будет |
принимать различные |
распределения суммы большого числа |
||||
значения) |
среднее |
значение |
всех |
с.в. Близок к нормальному. |
|
|
результатов перестает быть случайным и |
Частный случай – предельные теоремы в |
|||||
может быть предсказано с достаточной |
схеме Бернулли |
|
|
|||
точностью. Это утверждение остается |
|
|
|
|||
верным и при наблюдении за |
|
|
|
|||
различными с.в., имеющими различные |
|
|
|
|||
распределения. |
|
|
|
|
|
|
• Закон больших чисел
Пусть имеется с.в. X , принимающая в n опытах значения x1 xn
сматематическим ожиданием MX mX
идисперсией DX dX
Рассмотрим с.в. |
Y - среднее арифметическое наблюдаемых |
||
значений: |
n |
|
|
|
Y 1 xi |
|
|
|
n i 1 |
1 |
|
|
n |
|
|
|
MY mY 1 Mxi |
n mX mX |
|
|
n i 1 |
n |
|
Т.е. математическое ожидание среднего арифметического не зависит от числа опытов и равно математическому ожиданию X
|
1 |
n |
1 |
n dX dX |
|
DY dY |
Dxi |
||||
2 |
2 |
||||
Т.е. |
n |
i 1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
dY n 0