Индивидуалка №4 / Янковий О.Г. Метод. вказівки. ВФ

де с1, с2 – питомі витрати відповідних факторів (с1 – фондоємність одиниці продукції, с2 – трудомісткість одиниці продукції).

ВФ названо на честь американського економіста російського походження В. Леонтьєва, автора моделі міжгалузевого балансу. У загальному вигляді двофакторна функція Леонтьєва записується так:

Ступінь однорідності ПФ Леонтьєва γ дорівнює одиниці.

У 21абл.. 8 наведено основні економіко-математичні показники функції Леонтьєва.

Таблиця 8 – Основні економіко-математичні

характеристики ВФ Леонтьєва

Леонтьева. Поділивши обидві частини формули (23) на L, отримаємо:

21

її зростання супроводжується підвищенням ПП. Але таке явище спостерігається

тільки до точки d2 K0 , що представляє собою нормативну ФО (рис. 5).

d1 L0

0

Рис. 5 – Графік залежності продуктивності праці

від фондоозброєності в рамках ВФ Леонтьева

нормативної трудомісткості та встановлення підвищеної нормативної ПП знову

прагне в нескінченність, ПП також прагне в нескінченність. Однак це зростання

22

певною мірою залежить від нормування витрат капіталу на основні виробничі фонди та оплату праці.

Функція Леонтьєва є строго лімітаційною (σLK = 0), яка не передбачає заміщення виробничих чинників при постійному випуску продукції Y. Тому вона призначена для моделювання детермінованих техніко-економічних систем, що не допускають відхилення від технологічних норм і нормативів використання ресурсів на одиницю продукції. Зазвичай ВФ (23)

використовується для опису повністю автоматизованих виробничих об’єктів.

Зауваження. Можна показати, що CES-функція узагальнює лінійну функцію, ВФ Кобба-Дугласа та ВФ Леонтьєва, які можуть розглядатися як окремі випадки функції з постійною еластичністю заміщення факторів.

Так, при р → -1 (σLK → ∞) CES-функція (13) прагне до лінійної функції (18).

При р → 0 (σLK → 1) CES-функція (13) прагне до ВФ Кобба-Дугласа (3). При

р→ ∞ (σLK → 0) CES-функція (13) прагне до ВФ Леонтьева (23).

6.ВИРОБНИЧА ФУНКЦІЯ АЛЛЕНА не зв’язана з попередніми функціями і має наступний загальний вигляд:

де A0, A1, A2 – невідомі параметри функції.

Ступінь однорідності ВФ Аллена γ = 2. На відміну від найбільш популярних в економічних дослідженнях виробничих функцій Кобба-Дугласа та CES-функції, практичне застосування функції Аллена досить рідко зустрічається у вітчизняній науковій літературі, присвяченій математично-

статистичному моделюванню та прогнозуванню. Функцію названо на честь Р.

Аллена – англійського економіста, математика та статистика ХХ 23аб.

Коли модель будується за емпіричними даними, що варіюють у часі

(наприклад, по одному підприємству за кілька років), то користуються динамізованою ВФ Аллена. У цьому випадку функція (25) набуває вигляду:

23

Співвідношення (27) показує, що ПП в рамках функції Аллена

мультиплікативно залежить від двох факторів:

1)лінійно від витрат на оплату робочої сили, тобто від матеріального заохочення росту ПП;

2)криволінійно від ФО (парабола 2-го ступеня).

Розглянемо межу ПП при ФО → ∞.

Вираз (27) означає, що вказана межа залежить від знаків коефіцієнтів параболи 2-го ступеня, що описує залежність ПП від ФО. Оскільки старший коефіцієнт А1 < 0, то гілки параболи спрямовані вниз.

Нехай перший фактор зафіксований на постійному рівні L0, тоді точки перетину параболи з віссю ФО, в яких ПП = 0, знаходяться шляхом розв’язання рівняння

У процесі розв’язання квадратного рівняння знаходиться дискримінант

D = А02 – 4А1А2, що визначає число коренів квадратного рівняння. І тут можливі три ситуації.

1. Якщо D < 0 (А02 < 4А1А2), то рівняння (28) не має рішень, і, отже,

парабола не перетинається з віссю ФО. Точка перетину параболи (28) з віссю

ПП дорівнює –А2. У цій ситуації графік залежності ПП від ФО виглядає приблизно так, як це показано на рис. 6.

ПП

0

ФО

Рис. 6 – Графік параболи (28) за умови -А1 < 0; А02 < 4А1А2

25

2. Якщо D = 0 (А02 = 4А1А2), то рівняння (28) має одне рішення і парабола дотична до осі ФО. Даний випадок ілюструє графік на рис. 7.

ПП

0

ФО

Рис. 7 – Графік параболи (28) за умови -А1 < 0; А02 = 4А1А2

3. Якщо D > 0 (А02 > 4А1А2), то рівняння (28) має два рішення і парабола двічі перетинається з віссю ФО. В цій ситуації графік виглядає приблизно так,

як показано на рис. 8.

ПП

Рис. 8 – Графік параболи (28) за умови -А1 < 0; А02 > 4А1А2

Очевидно, що для економічного дослідження, яке базується на використанні функції Аллена, характерний саме третій випадок (D > 0), коли

мінус нескінченності. Іншими словами, в рамках ВФ (25) при ФО → ∞ ПП →

ВФ Аллена та її динамізована модифікація є субституційними функціями

(σLK ≠ 0). Розглянута вище властивість залежності ПП від ФО дозволяє стверджувати, що функції (25), (26) призначаються для формалізованого опису виробничих процесів, у яких надмірне зростання будь-якого фактора негативно впливає на обсяг випуску продукції. Зазвичай такі ВФ використовують для опису виробничих систем з обмеженими можливостями переробки ресурсів.

27

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1.Що зазвичай розуміють під терміном «виробнича функція»?

2.Чому ВФ Кобба-Дугласа є найбільш популярною моделлю в економічних дослідженнях?

3.Що характеризують коефіцієнти α, β ВФ Кобба-Дугласа?

4.У чому основні переваги CES-функції в порівнянні з ВФ Кобба-Дугласа?

5.Чому CES-функція досить рідко зустрічається в економічних дослідженнях у порівнянні з ВФ Кобба-Дугласа?

6.Що відображають коефіцієнти A1, A2 лінійної ВФ?

7.У чому особливість лінійної ВФ?

8.Що характеризують коефіцієнти с1, с2 ВФ Леонтьєва?

9.Для моделювання яких виробничих систем доцільно використовувати ВФ Леонтьєва?

10.Як пов’язані між собою ВФ Кобба-Дугласа, CES-функція, лінійна функція й ВФ Леонтьєва?

11. Що відображає коефіцієнт у динамізованій функції Аллена?

12. Коли доцільно застосовувати ВФ Аллена?

28

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Артемова А. В., Грищенко М. А., Лисняк Д. В. Методика оценивания затрат при производстве продукции. URL : file:///C:/Users/qwerty/Downloads/piprp_2014_1_3%20(4).pdf

2.Бондар М. В., Махлай А. Виробничі функції в економіко-математичному моделюванні. URL : http://www.rusnauka.com/14_ENXXI_2014/Matemathics/4_169090.doc.htm

3.Боровской Д. Н. Производственные функции и проблема выбора экономико-математической модели активного элемента. Радіоелектронні і комп’ютерні системи. 2008. № 1(28). С. 172-177.

4.Готліб І. Г., Янковий В. О. Аналіз впливу витрат праці і капіталу на випуск хлібопекарської продукції за допомогою виробничої функції. Зернові продукти і комбікорми. 2006. № 3. C. 12-16.

5.Економетрія : навчальний посібник / За ред. А. Ф. Кабака, О. В. Проценка. Одеса : НМЦО-ОДЕУ, 2003. 562 с.

6.Казакова М. В. Анализ свойств производственных функций, используемых при декомпозиции экономического роста. 2013. URL:

ftp://ftp.repec.org/opt/ReDIF/RePEc/rnp/wpaper/31.pdf.

7.Koval V., Slobodianiuk O., Yankovyi V. (2018) Production forecasting and evaluation of investments using Allen two-factor production function. Baltic Journal of Economic Studies Vol. 4, No. 1, р. 219-226. DOI: https://doi.org/10.30525/2256- 0742/2018-4-1-219-226

8.Определение производственной функции и еѐ свойства. Маргинальные продукты. URL : http://ouek.onu.edu.ua/uploads/courses/matheconomics.pdf

9.Подладчиков В. Н. Микроэкономика. Производственные функции.

URL : http://i.kpi.ua/podladchikov/-menu=micro-firm-2-.htm

10. Шумська С. С. Виробнича функція в економічному аналізі : теорія і практика використання. Економіка прогнозування. 2007. № 2. С. 138-153.

29

11.Шумська С. С. Інструмент виробничої функції в дослідженні української економіки. Економіка прогнозування. 2007. № 4. С. 104-123.

12.Янковий В. О. Застосування динамічної виробничої функції у задачах економічного аналізу та управління. Вісник Хмельницького національного університету. Економічні науки. 2005. № 3 (66). Т. 1. С. 225-229.

13.Янковий В. О. Прогнозування зони беззбитковості інвестицій у хлібопекарську промисловість за допомогою виробничої функції. Вісник соціально-економічних досліджень ОНЕУ. Одеса, 2006. № 22. С. 410-414.

14.Янковий В. О. Виробнича функція як інструмент економічного аналізу хлібопекарських підприємств. Наукові праці ОНАХТ . Одеса, 2006. Вип. 29, Т. 2. С. 308-313.

15.Янковий В. О. Модель беззбитковості інвестування в м’ясопереробну промисловість. Економіка харчової промисловості. 2010. № 4 (8). С. 16-21.

16.Янковий В. О. Економіко-математичні властивості виробничої функції Леонтьєва і лінійної функції. Економіка та суспільство. Електронне наукове фахове видання. Випуск 9. Мукачево, 2017. С. 1238-1244 URL : http://economyandsociety.in.ua/journal-9/16-stati-9/1019-yankovij-v-o

17.Янковий В. О. Економетричне моделювання факторів росту чистого доходу миколаївського комбінату хлібопродуктів. Глобальні та національні проблеми економіки. Вип. № 15. Миколаївський національний університет імені В.О. Сухомлинського. Лютий 2017 р. URL : http://global-national.in.ua

18.Янковий В. О. Оптимальна фондоозброєність і виробничі функції : монографія. Одеса : Атлант, 2018. 148 с.

19.Янковий О. Г. Виробнича функція Кобба-Дугласа-Тінбергена : теоретичні та прикладні економічні аспекти. Вісник соціально-економічних досліджень ОНЕУ. Одеса, 2005. № 20. С. 395-400.

20.Янковой А. Г. Основы эконометрического моделирования. Одесса, ротапринт ОГЭУ, 2006. 133 с.

30