Индивидуалка №4 / Янковий О.Г. Метод. вказівки. ВФ

Статистичний аналіз ВФ (6) показав, що вона досить точно описує варіацію виробництва досліджуваних підприємств. Коефіцієнт детермінації R2

= 0,9121 свідчить про те, що понад 91% варіації виручки від реалізації продукції пояснюється двома чинниками рівняння (6). Модель статистично надійна: розрахункове значення F-критерію Фішера 25,95 перевищує критичне значення 13,27, знайдене для рівня значущості 0,01 та числа ступенів свободи k1 = m = 2; k2 = N – m – 1 = 8 – 2 – 1 = 5 (тут m – число факторів у моделі, N – число спостережень). Отже, з достовірністю 99% можна стверджувати, що отримана ВФ є високонадійною та статистично значущою.

Побудована ВФ дозволяє розрахувати низку важливих економіко-

математичних показників виробничого процесу, що досліджуються, які стосуються витрат основного капіталу та робочої сили. Наприклад,

капіталовіддачу, продуктивність і капіталоозброєність праці, граничну віддачу ресурсів, показники їхнього взаємного заміщення тощо (11абл.. 4).

Таблиця 4 – Основні економіко-математичні

характеристики ВФ Кобба-Дугласа (3)

Важливою властивістю будь-якої ВФ є рівень її однорідності, яка характеризує ефективність виробництва за зміни його масштабів. Вона показує,

до якого зростання випуску продукції призводить збільшення всіх факторів у λ разів. Однорідність ступеня γ означає, що для будь-якого λ > 0, K ≥ 0, L ≥ 0

справедливе таке співвідношення:

Зокрема, при γ = 1 маємо

і ВФ називається лінійно однорідною.

Розглянемо з цих позицій поведінку функції (3). Для цього підвищимо витрати кожного фактора в λ разів. Тоді нове значення випуску продукції Y1

визначається так:

Отже, ступінь однорідності ВФ Кобба-Дугласа γ = + .

При γ = + = 1 зростання капіталу та праці в λ разів призводить до підвищення обсягів виробництва теж у λ разів, тобто функція є лінійно-

однорідною. Ефективність функціонування цієї системи не залежить від масштабів виробництва, оскільки середні віддачі чинників (рядок 1 табл. 4 –

фондовіддача і продуктивність праці) залишаються незмінними. Економічно це припущення означає, що подвоєння підприємств певної галузі народного господарства веде до подвоєння випуску її продукції. Іноді умова + = 1

ставиться апріорі.

Якщо γ = + > 1, то зростання праці та капіталу в λ разів забезпечує підвищення обсягів виробництва більш ніж у λ разів. І тут говорять про позитивний ефект розширення масштабів виробництва.

12

При γ = + < 1 зростання праці та капіталу в λ разів забезпечує підвищення обсягів виробництва менш ніж у λ разів. У цій ситуації має місце негативний ефект укрупнення виробничої системи.

Найважливіші економіко-математичні характеристики виробництва на підприємствах, що вивчаються, представлені в 13абл.. 5.

Таблиця 5 – Основні економіко-математичні характеристики виробництва

підприємства, що вивчається, знайдені за допомогою ВФ (6)

Обговоримо характер залежності продуктивність праці (ПП) від фондоозброєності (ФО) у межах виробничої функції Кобба-Дугласа. Для (3) ПП

(середня віддача ресурсу L) визначається так:

Не втрачаючи загальності, проаналізуємо випадок, коли ФО прагне в нескінченність для лінійно однорідної ВФ Кобба-Дугласа, тобто

Отже, при KL → ∞ величина YL теж прагне в нескінченність (рис. 2), що з

економічної точки зору не зовсім правдоподібно, оскільки насправді ПП завжди обмежена зверху. Ця властивість функції Кобба-Дугласа вважається недоліком досліджуваної економіко-математичної моделі.

Y

L

L

Рис. 2 – Графік залежності продуктивності праці

від фондоозброєності в рамках ВФ Кобба-Дугласа

Вважається, що функція Кобба-Дугласа може використовуватися для формалізованого опису середньомасштабних об’єктів (від промислового об’єднання до групи підприємств), що характеризуються стабільним та стійким функціонуванням.

Історично модифікація ПФ Кобба-Дугласа йшла за двома напрямками:

1)відмова від постійної ефективності факторів незалежно від масштабів суспільного виробництва;

2)урахування інших факторів виробництва, зокрема, науково-технічного прогресу, природних ресурсів, підприємницької діяльності тощо.

Так, голландський економіст Я. Тінберген наприкінці 40-х років XX 14аб.

доповнив традиційну ВФ Кобба-Дугласа фактором «нейтрального» науково-

технічного прогресу. Тут термін «нейтральний» розуміється як дія всіх факторів науково-технічного прогресу, які прямо не належать до факторів

«основні виробничі фонди» К та «праця» L. В результаті виникла нова модель,

яка получила назву ВФ Кобба-Дугласа-Тінбергена:

14

де – темп приросту продукції Y за рахунок усіх факторів, окрім К і L; t – фактор часу (t = 1, 2, …, N).

Тінберген фактично динамізував статичну формулу (3), яка призначена для опису, перш за все, варіації змінних Y, K, L у просторі. А виробнича функція

(12) цілком може застосовуватися для апроксимації динаміки даних з урахуванням чинника часу однієї й тієї ж ринково-виробничої системи – підприємства, регіону, країни. ВФ (3), (12) є субституційними, тобто передбачають певну взаємну замінність виробничих чинників.

3. CES-ФУНКЦІЯ або ВФ з постійною еластичністю заміщення факторів

(Constant Elasticity Substitution):

де А0 – коефіцієнт шкали; А1 – ваговий коефіцієнт фактора К;

р – коефіцієнт заміщення; γ – ступінь однорідності ВФ.

Функція (13) була розроблена в 1961 К. Ерроу, Г. Чинері, Б. Мінхасом і Р.

Солоу не на основі аналізу емпіричної інформації, а в результаті теоретичних міркувань щодо властивостей майбутньої економіко-математичної моделі.

Автори СЕS-функції звернулися до аналізу еластичності двофакторних моделей, які тоді використовувались. Існуючі тоді ВФ припускали, що еластичність заміщення факторів σLK набуває фіксованого числового значення.

Наприклад, для функції Кобба-Дугласа σLK = 1. Вони зазначили, що такі обмеження надто жорсткі, які часто не відповідають реальній економічній дійсності. Цей аргумент став вирішальним мотивом розробки узагальненої функції (13), у якій еластичність заміщення теж стала, але може набувати будь-

якого ненегативного значення.

Подібно до ВФ Кобба-Дугласа-Тінбергена, динамізована модифікація СЕS-

функції має вигляд:

15

Функція (14) може застосовуватися для апроксимації динаміки даних з урахуванням чинника часу будь-якої виробничої системи – підприємства,

регіону, країни.

Подібно до функції (3) величина коефіцієнта шкали А0 CES-функції відображає ефективність функціонування досліджуваної виробничої системи.

У 16абл.. 6 наведено основні економіко-математичні показники CES-

функції.

Таблиця 6 – Основні економіко-математичні

характеристики CES-функції