отчет лр3
.docxФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Лабораторная работа №2
по дисциплине: «Вычислительные методы»
«Численное интегрирование и дифференцирование»
Студент: Муромцева Эльвира
Группа: А-03-19
Вариант 11
Проверил:_____________
Москва
2021
Цель работы. Применить на практике простейшие численные методы вычисления интегралов и производных. Исследовать поведение погрешности методов при измельчении шага. Познакомиться с понятиями порядка точности и обусловленности (плохой/хорошей) задачи и их отражением в расчетах. Вычислить определенный интеграл с заданной точностью.
Задача1
Вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
Вычислить с помощью программно-составной формулы численного интегрирования приближенные значения интеграла для к = 1…9. Заполнить 2 столбец таблицы.
Шаг
h
Приближ.знач
интеграла
Погрешн.числ
интегрирования
Приближ.знач
производной
Погрешн.числ
дифф-ния
(b-a)/10
19.9218971553243
3.94741554240273
12.22425314473262
1.9064869787326195
(b-a)/
23.456341743088437
0.4129709546385918
10.490375650132089
0.17260948413208865
(b-a)/
23.827832988501417
0.04147970922561228
10.33486057503552
0.017094409035520286
(b-a)/
23.865162900634868
0.004149797092161123
10.319473955151537
0.0017077891515366872
(b-a)/
23.868897699756044
0.00041499797098509816
10.317936929071791
0.00017076307179131334
(b-a)/
23.86927119774779
4.1499979239745244e-05
10.317783242452805
1.7076452804687392e-05
(b-a)/
23.869308547725975
4.150001053915275e-06
10.317767875633876
1.7096338762456753e-06
(b-a)/
23.86931228272459
4.150024395244145e-07
10.317766330203426
1.642034259674574e-07
(b-a)/
23.869312656238314
4.148871468601101e-08
10.317766641065873
4.7506587286250124e-07
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.317768861511922
2.6955119221128143e-06
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.31774665705143
1.9508948570390316e-05
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.318412790866205
0.0006466248662047036
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.320633236915455
0.0028670709154550167
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.347278589506459
0.029512423506458774
(b-a)/
T > 40 мин
T > 40 мин
10.21405182655144
0.10371433944856001
Для каждого приближенного значения интеграла найти погрешность. Заполнить 3 столбец таблицы.
Вычислить точное значение производной.
Вычислить приближенные значения производной с помощью программно-составной формулы численного дифференцирования для к=1…..9. Заполнить 4 столбец таблицы.
Для каждого приближенного значения производной найти погрешность. Заполнить 5 столбец таблицы.
Сделать выводы
Для формулы правых прямоугольников порядок точности равен 1 и для формулы правой разностной производной 1, в квадратурной формуле и в формуле для производной зависимость шага от погрешности линейна: при уменьшении шага в 10 раз погрешность так же уменьшается в 10 раз.
В методе правых прямоугольников на шаге h = (b-a)/ погрешность достигает наиболее точного значения.
При вычислении приближенного значения производной в точке, самое точное значение мы получаем при шаге h = (b-a)/ , последующее уменьшение шага приводит к потере точности вычислений, что связано превышением погрешности вычислений значения функций в точках над значением шага.
Задача 2
Повторить расчет интеграла из Задачи 1 с помощью квадратурной формулы Симпсона. Сравнить результаты с результатами Задачи 1. Сделать выводы о порядке точности и обусловленности методов. Вычислить значение интеграла из Задачи 1 с помощью составной квадратурной формул Симпсона с заданной в индивидуальном варианте точностью ε.
Предусмотреть возврат значения шага, на котором происходит выход из расчета.
Заполнить таблицу.
Шаг |
Приближенное значение интеграла |
Погрешность численного интегрирования |
(b-a)/10 |
23.268721092343455 |
0.600591605383574 |
(b-a)/ |
23.84480116261606 |
0.024511535110967486 |
(b-a)/ |
23.8672670204096 |
0.0020456773174295506 |
(b-a)/ |
23.869112240385896 |
0.00020045734113338654 |
Заполнить таблицу.
Значение точности |
Точное значение |
Приближенное значение |
Абсолютная погрешность |
Значение шага интегрирования |
0,01 |
23.86931269772703
|
23.86939348314285
|
0,00165679986197639243717337618035
|
|
Квадратурная формула Симпсона сходится намного быстрее формулы правых прямоугольников. Это объясняется тем, что порядок точности для Симпсона 4, а для правых прямоугольников 1.