лр4 Cиницин

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "МЭИ"

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

Дисциплина – Вычислительные методы

Вариант 16

Подготовил: студент

Группы А-03-19

Синицин Данил

Москва 2021

Задача 1

Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) 1 порядка

и вычислить и погрешность приближенного решения.

1. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1 порядка.

2. Найти приближенное значение задачи Коши с шагом явным методом Эйлера, методом Эйлера-Коши, усовершенствованным методом Эйлера.

0.1
0.10314944111034893
0.11289069734329879
0.13010259443192515
0.15624981989398867
0.19338290829137833
0.2441382598351195
0.3117381692971491
0.39999084648627775
0.5132904239805517
0.6566169558475791
0.8355364122609948
1.0562006733362268
1.325347523771074
1.6503006487650898
2.038969631157403
2.499849949536932

0.1
0.10311284046692608
0.11273870098772823
0.1297309272199167
0.15550813907803085
0.19205485900378766
0.2419216945070511
0.3082253156274777
0.39464839825700615
0.5054395999695235
0.6454135733540305
0.8199510018762668
1.0349986435320646
1.297069373143781
1.6132422190998852
1.991162393391232
2.4390413153132737

0.1
0.10307692307692308
0.1126849982596589
0.12966492950426503
0.15542029221401632
0.19191786645303813
0.24168712889951138
0.3078195716036963
0.3939681906476511
0.5043472095791051
0.6437319808723716
0.8174589900807756
1.0314259066112739
1.2920916482787979
1.6064764435186374
1.9821618849015161
2.42729097254895

3. Используя метод Рунге-Кутты 4 порядка точности, найти приближенное решение задачи Коши с тем же шагом.

0.1
0.10314944111034893
0.11289069734329879
0.13010259443192515
0.15624981989398867
0.19338290829137833
0.2441382598351195
0.3117381692971491
0.39999084648627775
0.5132904239805517
0.6566169558475791
0.8355364122609948
1.0562006733362268
1.325347523771074
1.6503006487650898
2.038969631157403
2.499849949536932

4. Найти величины погрешностей приближенных решений по формуле:

,

где y( )и значения точного и приближенного решений в узлах сетки .

5. Построить таблицы и графики найденных решений. Сравнить полученные

результаты.

На основе полученных наблюдений можно сделать вывод, что для конкретной

задачи наименее точными являются усовершенствованный метод Эйлера и метод Эйлера-Коши, затем метод Эйлера и метод Рунге-Кутты.

(на данном графике видны не все точки)

Код программы

import math

import numpy as np

import matplotlib as plt

import matplotlib.pyplot as plt

def f(t,y):

return 4*y*t/(1+t**2)

def Yt(t):

return 0.1*(1+t**2)**(2)

#Явный метод Эйлера

def Euler(f,t0,y0,h,N):

y[0]=y0

for i in range (N):

J=f(t0+i*h,y[i])

y[i+1] = y[i] + h*J

return y

#Метод Эйлера усовершенствованный

def Euler_up(f,t0,y0,h,N):

z[0]=y0

for i in range (N):

J=z[i]+f(t0+i*h,z[i])*(h/2)

z[i+1] = z[i] + h*(f(t0+i*h+h/2,J))

return z

#Метод Эйлера-Коши

def Euler_Couchy(f,t0,y0,h,N):

u[0]=y0

for i in range (N):

J=f(t0+i*h,u[i])

O=u[i]+J*h

u[i+1] = u[i] + h*(J+f(t0+(i+1)*h,O))/2

return u

# Метод Рунге_Кутты

def Runge_Kutti(f,t0,y0,h,N):

v[0]=y0

for i in range (N):

K1=f(t0+i*h,v[i])

K2=f(t0+i*h+h/2,v[i]+h*K1/2)

K3=f(t0+i*h+h/2,v[i]+h*K2/2)

K4=f(t0+i*h+h,v[i]+h*K3)

v[i+1] = v[i]+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4)

return v

# Поиск эпсилон

def Epsilon(o,q,x):

S=0

for i in range(x):

if abs(o[i] - q[i]) > S:

S = abs(o[i]-q[i])

return S

t0=0

y0=0.1

T=2

N=16

h=(T-t0)/N

print('h = ',h)

y=[0]*(N+1)

Euler(f,t0,y0,h,N)

z=[0]*(N+1)

Euler_up(f,t0,y0,h,N)

u=[0]*(N+1)

Euler_Couchy(f,t0,y0,h,N)

plt.grid(True)

x=np.linspace(t0,T,N+1)

p=[0]*(N+1)

for i in range(len(x)):

p[i]=Yt(x[i])

Runge_Kutti(f,t0,y0,h,N)

x=np.linspace(t0,T,N+1)

p=[0]*(N+1)

for i in range(len(x)):

p[i]=Yt(x[i])

plt.grid(True)

xx=np.linspace(t0,T,100)

yy=np.linspace(0,0,100)

for i in range(100):

yy[i]=Yt(xx[i])

plt.plot(xx,yy,color='blue',label='Точное решение')

plt.plot(x,y,color='red',label='Явный метод Эйлера',ls='',marker='.', markersize=6)

plt.plot(x,z,color='black',label='Метод Эйлера усовершенствованный',ls='',marker='.', markersize=6)

plt.plot(x,u,color='green',label='Метод Эйлера-Коши',ls='',marker='.', markersize=6)

plt.plot(x,v,color='yellow',label='Метод Рунге-Кутты',ls='',marker='.', markersize=6)

plt.legend()

print('Явный метод = ',Epsilon(p,y,len(x)))

print('Метод Эйлера усовершенствованный = ',Epsilon(p,z,len(x)))

print('Метод Эйлера-Коши = ',Epsilon(p,u,len(x)))

print('Метод Рунге-Кутты = ',Epsilon(p,v,len(x)))

print('y=',y)

print('z=',z)

print('u=',u)

print('v=',v)