лр3 Синицин Данил
.docxФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Лабораторная работа №3
по дисциплине: «Вычислительные методы»
«Численное интегрирование и дифференцирование»
Студент: Синицин Данил
Группа: А-03-19
Вариант 16
Проверил:_____________
Москва
2021
Цель работы. Применить на практике простейшие численные методы вычисления интегралов и производных. Исследовать поведение погрешности методов при измельчении шага. Познакомиться с понятиями порядка точности и обусловленности (плохой/хорошей) задачи и их отражением в расчетах. Вычислить определенный интеграл с заданной точностью.
Задача1
Вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
Вычислить с помощью программно-составной формулы численного интегрирования приближенные значения интеграла для к = 1…9. Заполнить 2 столбец таблицы.
Шаг
h
Приближ.знач
интеграла
Погрешн.числ
интегрирования
Приближ.знач
производной
Погрешн.числ
дифф-ния
(b-a)/10
0.31
0.04
12.2
0.2
(b-a)/
0.348
0.004
10.49
0.02
(b-a)/
0.3523
0.0004
10.334
0.002
(b-a)/
0.35272
4e-05
10.3194
0.0002
(b-a)/
0.352763
4e-06
10.31793
2e-05
(b-a)/
0.3527676
4e-07
10.317783
2e-06
(b-a)/
0.35276806
4e-08
10.3177678
2e-07
(b-a)/
0.352768106
4e-09
10.3177663
2e-07
(b-a)/
0.3527681107
4e-10
10.317766
2e-06
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.31776
2e-05
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.31774
6e-05
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.3184
0.0003
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.321
0.003
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.34
0.03
(b-a)/
t>40мин
t>40мин
10.2
0.1
Для каждого приближенного значения интеграла найти погрешность. Заполнить 3 столбец таблицы.
Вычислить точное значение производной.
Вычислить приближенные значения производной с помощью программно-составной формулы численного дифференцирования для к=1…..15. Заполнить 4 столбец таблицы.
Для каждого приближенного значения производной найти погрешность. Заполнить 5 столбец таблицы.
Сделать выводы
Для формулы трапеций порядок точности равен 2, а для формулы левой разностной производной 1, об этом говорит пропорциональность шага и погрешности: в квадратурной формуле при уменьшении шага в 10 раз погрешность уменьшается в 100 раз; в формуле для производной зависимость шага от погрешности линейна: при уменьшении шага в 10 раз погрешность так же уменьшается в 10 раз.
Погрешность
интегрирования по формуле трапеций:
Погрешность
левой разностной производной:ψл≤
В методе трапеций на шаге h = (b-a)/ погрешность достигает наиболее точного значения.
При вычислении приближенного значения производной в точке, самое точное значение мы получаем при шаге h = (b-a)/ последующее уменьшение шага приводит к потере точности вычислений, что связано превышением погрешности вычислений значения функций в точках над значением шага. Поэтому следующие данные нельзя использовать для анализа порядка точности.
Плохая обусловленность метода проявилась для дифференциального приближения, так как, начиная с некоторого шага, погрешность начала расти.
Задача 2
Повторить расчет интеграла из Задачи 1 с помощью квадратурной формулы Симпсона. Сравнить результаты с результатами Задачи 1. Сделать выводы о порядке точности и обусловленности методов. Вычислить значение интеграла из Задачи 1 с помощью составной квадратурной формул Симпсона с заданной в индивидуальном варианте точностью ε.
Предусмотреть возврат значения шага, на котором происходит выход из расчета.
Заполнить таблицу.
Порядок точности у формулы Симпсона равен 4: при уменьшении шага в 10 раз погрешность уменьшается в 10000 раз. По сравнению с методом трапеции наиболее точное значение достигается уже при h = (b-a)/ , причем его погрешность в 100 раз меньше. Но как и в методе трапеции с последующим уменьшением шага начинает расти погрешность по той же причине.
Заполнить таблицу.
Значение точности |
Точное значение |
Приближенное значение |
Абсолютная погрешность |
Значение шага интегрирования |
0,005 |
0.3527681112177688
|
0.352068631640352
|
0.0006994795774165619
|
0.004687500
|
Квадратурная формула Симпсона сходится намного быстрее формулы трапеций. Это объясняется тем, что порядок точности для Симпсона 4, а для трапеций 2.