шпорэ

21

5.1. Основные понятия

Идеальная жидкость в гидродинамике — модель жидкости, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость. При отсутствии вязкости отсутствует внутреннее трение, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

В идеальной жидкости, как в неподвижной реальной жидкости, возможны только нормальные напряжения сжатия, т. е. гидромеханическое давление.

Задачей кинематики жидкости является определение скорости в любой точке жидкой среды, т. е. нахождение поля скоростей.

Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и не зависят от времени. р=f (х, у,z ); v=f2(х, у, z ). Неустановившимся называется течение жидкости, характеристики которого изменяются во времени в точках рассматриваемого пространства. p=F1(x, y, z, t); v=F2(x, y, z, t).

Линией тока называется кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к этой кривой.

Трубкой тока называется бесконечно малый замкнутый контур, выделенный в данный момент времени в движущейся жидкости, через все точки которого проведены линии тока. Это условная трубчатая поверхность.

Элементарной струйкой называется часть потока, заключенная внутри трубки тока. В модели идеальной жидкости потоки конечных размеров рассматривают, как

совокупность элементарных струек. Соседние струйки из-за различия скоростей скользят одна по другой, но не перемешиваются.

Живым сечением или сечением струйки δS или потока - S, называется площадь поверхности в пределах струйки или потока, проведенная нормально к линиям тока. Смоченным периметром называется длина части периметра живого сечения, на которой поток соприкасается с твердыми стенками..

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру Rг = S/P. Для потока в трубе круглого сечения:

Rг = S/P = (π/4)*d2/ (πd)=d/4.

22

5.2. Расход. Уравнение расхода

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение

где V - мгновенная скорость в данной точке, δS – площадь сечения струйки.

Для потока конечных размеров в общем случае скорость различна Q VdS.

S

Если использовать среднюю по сечению скорость Vср = Q/S, то средний расход для струйки или потока равен Qср = Vср*S.

5.3 Уравнение неразрывности потока.

Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества. А также на следующих допущениях:

а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих ее потоков;

б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.

На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).

δQ = V1 *δS1 = V2 *δS2 → const (вдоль струйки). (5.6) Уравнение неразрывности для потока, ограниченного непроницаемыми

стенками (уравнение расхода для потока).

Q = Vср1 *S1 = Vср2 *S2 → const (вдоль потока), (5.6’) где Vср1 , Vср2 - средние скорости.

Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:

Vср1 S2 .

Vср 2 S1

Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения вещества при условии сплошности (неразрывности) течения.

23

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины. Пусть площадь первого сечения равна δS1, скорость в нем V1 , давление P1, а высота от плоскости сравнения Z1. Во втором сечении

δS2, V2 , P2 и Z2.

За бесконечно малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.

Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:

(mV22)/2 - (m V12)/2 = G*( Z2- Z1) = G*h

Работа силы давления в первом сечении положительна (p1*δS1)*(V1δt) Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус - (p2*δS2) *(V2δt).

δA = (p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *(V2δt).

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. δG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g* V2*δS2*δt .

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG: (z1-z2) *δG.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно

(V22- V12)* δG/(2g),

Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *( V2δt) +(z1-z2) *δG=(V22- V21)* δG/(2g

24

5.5. Первая форма уравнения Бернулли

Разделим это уравнение на δG - изменение силы тяжести элементарной струйки за время δt и произведя сокращения на

δG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g* V2*δS2*δt , получим

Сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим

"Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости

где z - геометрический напор, Р/ρg - пьезометрический напор, V2/2g - скоростной напор.

Уравнение Бернулли (5.12) записано для двух произвольно взятых сечении струйки и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь одно и то же значение.

Для идеальной движущейся жидкости вдоль струйки тока сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.

Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называется пьезометрической линией.

Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расхода следует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость течения жидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напор уменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, а пьезометрический напор возрастает.

25

5.6. Вторая форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение (5.11) на элементарный объем

Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления: ρzg — весовое давление;

р — гидромеханическое давление; ρv2/2 — динамическое давление.

5.7. Третья форма уравнения Бернулли.

Разделив исходное уравнение на массу δm = ρ*g*δW элементарного объема, равную δm = ρ*( V1*δS1*δt) = ρ*( V2*δS2*δt) = δWρ = δG/g, а δG= gδm, преобразовав это

уравнение, получим

Удельной энергией жидкости, называется отношение энергии жидкости к ее массе. В третьей форме члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии:

gz — удельная потенциальная энергия.

Р/ρ - удельная энергия давления жидкости.

V2/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

26

5.8. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

Единичные массовые силы или проекции ускорений на оси: Х, У и Z.

Если давление в точке М обозначить через Р, давление вдоль оси Х в точке N -

Скорость движения жидкости в точке М обозначим через V , а ее проекции через Vх, Vy Vz . Проекции ускорения, с которыми движется выделенный объем, будут равны: Vх/dt,

Vy/dt, Vz/dt.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид

ρ*δхδyδz*(dVх/dt) = Xρ δхδyδz - (dp/dx)* δхδyδz;

{ ρ*δхδyδz*(dVy/dt) = Yρ δхδyδz - (dp/dy)* δхδyδz;

ρ*δхδyδz*(dVz/dt) = Zρ δхδyδz - (dp/dz)* δхδyδz;

Система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, называемая уравнениями Эйлера.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

Впроекциях на ось Y: dVy *Ve Y *dy 1 p dy

y

Впроекциях на ось Z: dVz *Vz Z *dz 1 p dz.

z

где U – силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх

X = 0, Y= 0, Z = - g.

Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V2/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V2/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (v2/2g)) = 0, z + p/(gρ) + (v2/2g) → const.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид

28

6.1.Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.

При движении реальной жидкости на преодоление сопротивлений, связанных с вязкостью, требуются затраты энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а уменьшается вдоль потока.

При выводе уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости вместо неравномерного распределения скоростей рассматриваются средние скорости и средние значения удельной энергии жидкости в данном сечении. Измерение скорости в различных точках сечения потока выполнить сложно, измерение средней скорости потока выполнить проще и они могут быть сделаны с большей точностью.

6.2. Мощность потока

Мощностью потока называется полная энергия, которую проносит поток через данное сечение в единицу времени.

Мощностью называется отношение работы, выполненной за определенный промежуток времни к длительности этого промежутка. Например, для гидроцилиндра

где давление p = ρgh, , работа А =pghS*L, массовый расход δQm = ρW/t = ρ(L*S) /t Мощность элементарной струйки это произведение полной удельной энергии

струйки жидкости в виде третьей формы уравнения Бернулли в данной точке

gН= gz + p/(ρ) + (V2/2), на элементарный массовый расход струйки δQm = ρ(V*δS /δt).

δN = gH*δQm = (gz + p/ρ + v2/2)*ρ* v*δS = P*δQ

29

6.3 Коэффициент Кориолиса

Для определения полной удельной мощности потока разделим мощность потока на

Коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечения, но при равномерном распределении скоростей, поскольку интеграл от dm = ρ*VdS – масса потока в данном сечении:

Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях соответственно Нср1 и Нср2. Тогда Н ср1 = Нср2 + Σhп, где Σhп - суммарная потеря полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

От уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости это уравнение отличается четвертым членом - потерей полного напора, и коэффициентами Кориолиса, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями в первом и тором сечениях потока.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости - это закон сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - уравнение баланса энергии с учетом потерь.

30

6.4 Гидравлические потери .

Гидравлические потери удельной энергии, выраженные напором или давлением, зависят от формы и размеров трубопровода, скорости течения и вязкости жидкости.

При турбулентном режиме движения жидкости гидравлические потери пропорциональны скоростям во второй степени, в единицах длины h п = ζ V2 ср /(2g), Безразмерный коэффициент потерь ζ - дзета называется коэффициентом

сопротивления и равен отношению величины потерянного напора к скоростному напору. Гидравлические потери разделяют на местные потери и потери на трение по длине. Значение ζ вообще зависит от формы местного сопротивления, шероховатости его

стенок, условий входа и выхода из него жидкости и основного критерия динамического подобия напорных потоков - числа Рейнольдса.

Число Рейнольдса обычно относят к сечению трубопровода, в котором находится местное сопротивление

где V и Q - средняя скорость потока и расход в трубе; D - диаметр трубы; ν- кинематическая вязкость жидкости.

Число Рейнольса определяет режим течения жидкости. При его значении меньше Re≤2300 режим течения жидкости называется ламинарным, от слова ламина – слой или слоистым.

Ламинарным движением жидкости называется режим ее течения упорядоченным слоями без ее перемешивания.

Струи жидкости, находящиеся на разном удалении от оси движутся с различными скоростями. Наибольшую скорость имеет осевая струйка, при стенках скорость равна нулю.

Увеличение скорости понижает устойчивость ламинарного течения и нарушает его режим. На устойчивость ламинарного режима оказывают влияние вязкость жидкости, плотность, скорость движения частиц, а также диаметр трубопровода.

При увеличении скорости струйки разрываются, разрыву предшествует образование волнообразных колебаний. При усилении колебаний струйка полностью перемешивается с окружающей жидкостью. Движение частиц производит впечатление беспорядочных вихрей. При числах Рейнольса больше Re>2300 режим течения жидкости становится турбулентным.

Турбулентным движением жидкости называется режим ее течения неупорядоченным слоями с их перемешиванием.