шпорэ

11

3.2.Основное уравнения гидростатики

Рассмотрим распространенный частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости.

Пусть жидкость содержится в сосуде и на ее свободную поверхность действует давление Р0. Найдем гидростатическое давление Р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарнyю горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h, то есть воспользуемся «принципом затвердения». Рассмотрим условие равновесия выделенного объема жидкости.

Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на вертикальную ось Z:

РδS –P0δS – ρg(h*δS) = 0 . Основное уравнение гидростатики: Р=Р0+hρg=P0+h*γ

Используя его можно определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление складывается из давления Р0 на внешнюю поверхность жидкости и давления, вызываемого весом вышележащих слоев жидкости.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня.

1.Координата Z (точки М относительно произвольной плоскости сравнения) называется геометрическим напором.

2.Величина h = Р/(ρg)= Z - Z0 называется пьезометрической напором.

3. Сумма Z + h = Z+ Р/(ρg) называется гидростатическим напором. Геометрический, пьезометрический, гидростатический напоры имеют линейную

размерность.

12

3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая Эйлера.

Рассмотрим равновесие жидкости под действием силы тяжести и силы инерции переносного движения при относительном покое.

В сосуде с неподвижной жидкостью выберем произвольную точку М с координатами х, у и z, в которой действует давление P (рис.3.3).

Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz. Точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. F=Fx+Fy+Fz = mA, A= F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m=X+Y+ Z,

Давление Р есть функция координат x, y и z, вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково по закону гидростатического давления. При переходе от точки М например к точке N функция P получает приращение, равное частному дифференциалу (∂р/∂х)*δх, поэтому давление в точке N’ равно Р + (∂р/∂х)*δх,

Р – [Р+(∂р/∂х) *δх]= (∂р/∂х)*δх.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

X*ρ δхδyδz - (∂р/∂х)*δхδyδ =0 Y*ρ δхδyδz - (∂р/∂y)*δхδyδz=0Z*ρ δхδyδz - (∂р/∂z)*δхδyδz=0 X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0 Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0

Система дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0 dP = - ρg*dz , P = - ρg*dz + C (3.6a)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z0 , Р=Р0 . Получим С= Р0+ ρg*Z0

13

Подставим С, получим P= Р0+( Z0 -Z) ρg Р = P0 + ρgh

3.4. Пьезометрическая высота.

Пьезометрической высотой называется заглубление точки измерения относительно пьезометрической плоскости.

3.5. Вакуум.

Жидкость будет следовать за поршнем и с ним поднимется на некоторую высоту от свободной поверхности с атмосферным давлением. Давление под поршнем будет уменьшаться

а) Для точек, расположенных под свободной поверхностью воды давление определится по формуле для гидростатического закона Pабс= Рат+( Z0 –Z2) ρg,

при этом Z0 > Z2 и разность положительна ( Z0 –Z2)>0.

б) Z1 > Z0 разность (Z0 – Z1)< 0 отрицательна, согласно уравнению

Pабс= Рат + ( Z0 –Z1) ρg = Рат - ρgh1, ,

h1 = hвак = (Рат — Рабс) /(ρg). (3.10)

По мере подъема поршня абсолютное давление жидкости под ним уменьшается. Нижним пределом для абсолютного давления в жидкости является ноль.

Максимальное значение вакуума численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальную высоту всасывания жидкости можно определить по уравнению (3.10), если в нем положить Рабс = 0. Таким образом,

Hmах = Рат/(ρg) = Рат/γ.

3.5.1. Измерение вакуума

Вакуум в жидкости А можно измерять при помощи U-образной трубки (на рис.3.8) или перевернутой U-образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью (см. рисунок слева).

14

3.6.Приборы для измерения давления.

3.6.1.U-образный манометр

Рм = h1ρ1g + h2ρ2g.

3.6.2. Чашечный манометр

Раб = Рат + ρртgh РA = Рат + ρртghρgh0

3.6.3. Для измерения разности давлений в двух точках служат дифференциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рис.3.11а).

Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность давлений Р1 и P2 в жидкости плотностью ρ, которая полностью заполняет соединительные трубки, то

Р1-Р2= hg(ρрт – ρ).

Для измерения малых перепадов давления применяют двухжидкостный микроманометр, представляющий собой перевернутую U- образную трубку, заполненную маслом или керосином в вёрхней части (рис.3.11б).

15

Р1-Р2= hg(ρ2 – ρ1).

3.6.7.Манометры с упругим чувствительным элементом.

4.1.Сила давления жидкости па плоскую стенку

Давление жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом α, определяется по основному уравнению гидростатики Р=Р0+hρg

δFж = P*δS =(P0 + ρhg) δS = P0*δS + ρhg*δS,

где у — координата площадки dS, h = у*Sinα .

Интеграл ydS представляет собой статический момент площади S относительно

s

оси Ох , который равен произведению площади S на координату ус ее центра тяжести - точки С:

ydS ycS

S

Усилие давления жидкости на плоскую, наклоненную стенку равно

Fж = P0S+ρg(yc Sinα) S = P0S+ρghcS, (4.1)

здесь hc = (yc Sinα)— глубина расположения центра тяжести площади S.

16

Сила давления жидкости Fж = ρghcS – это вес объема V = hcS жидкости. Полная сила давления жидкости Fж на плоскую стенку равна произведению

площади стенки S на гидростатическое давление Рс в центре тяжести этой площади.

1.когда давление Р0 является атмосферным Fизб ж = PcS= ρghcS.

2.давление Р0 может существенно отличаться от атмосферного

F= F0 + Fж = (P0+Pс)S.

4.2. Точка приложения силы давления.

Внешнее давление Р0 передается всем точкам площади S одинаково, и его равнодействующая сил внешнего давления F0 будет приложена в центре тяжести площади S с координатой - ус.

Для нахождения точки D приложения силы давления Fж от веса жидкости применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, в данном случае элементарных сил.

где J x y2 dS - момент инерции площади S относительно оси Оx.

s

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна сила реакции стенки Rж = P и направлена в противоположную сторону.

4.4. Плавание тел.

Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тел.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

Основное свойство поверхностей уровня - равнодействующая массовых сил всегда нормальна к этим поверхностям. dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz)

Если dР=0 на поверхности уровня - это поверхности равного давления

X*dх+У*dy+Z*dz = 0

Из этого выражения следует, что работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно. Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной

угловой скоростью.

18 1. Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении

координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX, Fy = mY, Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму единичных векторов силы инерции j и силы тяжести g. Единичная сила инерции Fи = j = - a направлена в сторону противоположную ускорению а (рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

Ox: X = j - gSinα,

Oz : Z = -gCosα, Оx: Y = 0.

(1/ρ)dp = [(j - gSinα)dx – (gCosα)dz].

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z] + С

Если Р = const С1 - Р = const, где Р получим уравнение изобарических поверхностей ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] +С1 = 0

х0 = 0, z = z0, находим С1=ρg z0Cosα для свободной поверхности.

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z0Cosα = 0 (j - gSina) x –gCosa*( z + z0) = 0

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

19

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0. При нулевых условиях: х = 0, z = z0, P = P0 в формуле (4.14), получим C = P0+

(ρgCosa)z0: Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z + С

Р= P0+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z0 – z).

4.6.Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси. Силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, находясь по отношению к сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости изменится.

На жидкость будут действовать силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения. Единичная массовая сила тяжести Fg = g и единичная массовая центробежная сила Fцб = ω2r.

Значение константы для свободной поверхности Р = Р0, x=y=0, z = z0: С1 = Р0 + ρgz0. Получим уравнение для определения давления в любой точке:

Пользуясь этими уравнениями можно определить положение свободной поверхности и давление в сосуде.

Максимальная высота Н подъема жидкости в параболоиде со свободной поверхностью может быть определена, следующим образом.

20