Elektromagnetizm

51

В этом случае

происходит

подключение к

индуктивности

L

источника питания с ЭДС ξ.

По закону Ома

R.I = ξ + ξS или

R.I = ξ – L

dI

R.I – ξ = L

dI

.

dt

dt

Вводим новую переменную

U = R.I – ξ ,

тогда dU R dI

dI

dU

R

или U

L dU

dt

L dU

.

R

dt

R

U

После интегрирования получаем окончательно

I I

0

1 exp t

.

Взаимная индукция

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2

B1 L12 I2

B2 L21 I1

L12

и

L21

называют

взаимной индуктивностью

контуров. Эти коэффициенты зависят от формы, размеров и

взаимного расположения контуров.

По

теореме

взаимности

L12 L21 . Смысл теоремы

взаимности в том, что в любом случае магнитный поток

B1

сквозь контур

1,

созданный током I

в контуре

2,

равен

магнитному потоку B 2 сквозь контур 2, созданному таким же

током I

в контуре

1.

ξ1i

=

d B1

L12

dI2

;

dt

dt

ξ2i

=

d B2

L21

dI1

.

dt

dt

52

С учётом явления самоиндукции ток

в контуре 1

при изменении токов в обоих

контурах определяется по закону Ома:

R1.I1 = ξ1 – L1

dI1

L12

dI2

,

где

dt

dt

ξ1 – сторонняя ЭДС в контуре 1.

Для I2 получаем симметрично:

R2.I2 = ξ2 –

L2

dI2

L12

dI1

.

dt

dt

Энергия магнитного поля

При отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому

течёт ток I, обладает энергией

W

LI 2

I

B

2

B

.

M

2

2

2L

Рассмотрим длинный соленоид, пренебрегая краевыми эффектами. Его

индуктивность

L 0n2V . Тогда

2

n2 I 2V

B2

WM

LI

V

B H

V ,

0

2

2

2 0

2

n I H

B

т.к.

.

0

Формула

WM

B H

V

справедлива

для

любого однородного поля,

2

заполняющего объём V.

Если магнитное поле неоднородно (но при отсутствии ферромагнетиков), то

W

B H

dV

M

2

.

V

Объёмная плотность магнитной энергии при отсутствии ферромагнетиков:

B2

H 2

wM

B H

.

0

2

2 0

2

Через поверхность

S1

течёт ток

I , а через поверхность

S2

ток не течёт, хотя

обе поверхности имеют равные права с точки зрения

теоремы о циркуляции вектора

S

S

Н .

Но для поверхности

можно вместе с поверхностью

записать теорему

2

1

q

q . Дифференцируя по времени, получаем

D

Гаусса

D dS

t

dS

t

.

(S1 S2 )

(S1 S2 )

q

Из уравнения неразрывности тока имеем

j dS .

t

( S1 S2 )

D

Тогда

( j

t

)dS 0 .

S

D

jCM

плотность тока смещения;

t

D

jПОЛН

плотность полного тока.

j

t

D

I ПОЛН

j

dS .

t

Теперь теорему о циркуляции вектора

Н ,

которая была установлена для

постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и записать

D

H dl

( j

t

) dS IПОЛН .

l

S

D

В

дифференциальной

форме

r

т.е.

ротор вектора

oHt j

t

напряжённости магнитного поля

Н

определяется плотностью тока проводимости и

тока смещения D

в той же точке.

t

связанные. Это следует из уравнения div D , если учесть, что

D

0 Е Р и

магнитное поле (закон электромагнитной индукции Фарадея). Причём электрическое

B

поле в этом случае является вихревым ( rot E

t

), т.е. силовые линии

Е не

имеют в этом случае ни начала, ни окончания.

Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле

В может возбуждаться

электрическими полями, либо тем и другим одновременно. Это следует из уравнения

rot H j D

t .

Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам

(магнитных зарядов) в природе не существует, что следует из уравнения div В 0 .

решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля

Е и

В .

дополняют уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца

d

m

qE q

, B

dt

и так называемыми материальными уравнениями, которые для слабых полей,

сравнительно медленно меняющихся в пространстве и времени имеют вид

D

0 E;

B 0 H;

j

E E * ,

где

диэлектрическая проницаемость среды;

магнитная проницаемость среды;

электропроводимость среды;

Е *

напряжённость

электрического поля

сторонних

сил,

обусловленная