Введение

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является математический анализ. 

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости производной в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики.

Как известно, понятие предела является одним из важнейших во всей математике в силу того, что с ним связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная, дифференциал и интеграл.

Теория пределов – одна из древнейших в истории математики, на протяжении многих веков занимавшая умы ученых. Знакомство с ней произошло еще в древности. Еще в 3 в. до н.э. Архимед вычислял площади криволинейных фигур с помощью метода «исчерпывания». Впоследствии ею интересовались такие ученые, как  Г.  Галилей, И. Кеплер, Ф. Паскаль, И. Ньютон. Но только сравнительно недавно, в 19 веке, эта теория приобрела стройность и форму, тот вид, с которым мы с ней знакомы по сей день.

Подробнее хочу остановиться на пределах функции.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Предел функции - это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727).

Рисунок 1. Иисак Ньютон

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Коши дал общее определение предела в описательной форме: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных».

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконеч­ных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813).

Рисунок 2. Леонард Эйлер Рисунок 3. Жозеф Луи Лагранж

Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов.

Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Рисунок 4. Бернард Больцано Рисунок 5. Огустен Луи Коши

В 1861 году Вейерштрасс впервые представил эпсилон-дельта определение предела в том виде, в котором оно обычно записывается сегодня. Он также ввел обозначения lim и lim x→x 0.

ГЛАВА 2. ВИДЫ ПРЕДЕЛОВ

2.1 ВИДЫ ПРЕДЕЛОВ

Существуют несколько видов пределов: