4) Погрешность численного метода

При численном решении задач возникает погрешность, вызванная приближенностью самого метода (заменой дифференцирования отношением конечных разностей, интегрирования - суммированием и т.д.). Эту погрешность необходимо уметь оценивать и подбирать параметры, определяющие условия работы алгоритма так, чтобы эта погрешность была бы меньше заданной величины.

Способы оценки погрешности методов будут рассмотрены ниже при описании самих численных методов решения задач.

5) Погрешность, вызванная «неидеальностью» исполнителя

На каждом этапе численного моделирования: при постановке математической задачи, при дискретизации математической модели, при разработке программы решения задачи, при трансляции исходного текста в машинный код, а также при выполнении процессором вычислительных команд могут возникать ошибки.

В качестве примера необходимо напомнить, к каким катастрофическим последствиям приводили ошибки программистов при расчете параметров коррекции траектории космических аппаратов (которые в практике космических исследований имели место неоднократно).

Если такие ошибки существуют и остались незамеченными, то все остальные оценки бесполезны. Однако оценить величину погрешности, вызванную этими ошибками, не представляется возможным. Но выше было указано, что приближенный результат без оценки погрешности не имеет смысла.

Таким образом, мы пришли к новому парадоксу.

Его разрешение, видимо, нужно искать, как и выше, в отказе от идеализации. В данном случае - идеализации исполнителя. Невозможно гарантировать абсолютную справедливость утверждений, расчетов и оценок, какими бы изощренными ни были способы их проверки и контроля, так как проверяющий также не является идеальным исполнителем. И целью надо ставить не безошибочность работы исполнителей, а уменьшение возможности не заметить погрешность, возникшую вследствие их ошибок.

Каким же способом можно это сделать? Как избежать, например, потерь космических станций?

Для повышения достоверности измерений и вычислений часто применяется прием, заключающийся в повторных измерениях или применении нескольких различных методов для решения одной и той же задачи. Датчики для измерения самых важных параметров обычно дублируют или утраивают. Результаты расчетов можно сравнить с решениями той же задачи, полученными другими методами.

В случае обнаружения рассогласования результатов (непересечения интервалов неопределенности) должна быть найдена и устранена причина противоречия.

Однако этот способ повышения надежности не может гарантировать абсолютной достоверности оценок.

Как и при отказе от абсолютной точности, отказ от абсолютной достоверности, с одной стороны, позволяет разрешить парадокс и дает возможность получения разумных результатов, с другой стороны, приводит к необходимости оценки вероятности выхода фактической погрешности за объявленные границы.

1.3 Модели погрешности

Рассматривается абсолютная погрешность величины x _x=xx* и ее относительная погрешность . При проведении оценки погрешности следует учитывать, что нет необходимости пытаться делать это очень точно (обычно _x приводится с одним - двумя десятичными знаками). Иными словами, величина относительной погрешности оценки погрешности _x0.1-0.3. Это позволяет существенно упростить саму процедуру оценки погрешности.

На практике используются две модели погрешности - случайная погрешность и предельная погрешность.

При использовании случайной модели предполагается, что _x - случайная величина, тогда определяется вероятность возникновения абсолютной и относительной погрешности.

1) среднеквадратическая погрешность при сложении и вычитании (z=xy)

; (1.3.2)

2) среднеквадратическая погрешность при умножении и делении (z=xy; z=x/y)

. (1.3.3)

Предельная погрешность определяется как

, (1.3.4)

т.е. эта оценка является пессимистической (предполагается наихудший вариант из всех возможных).

При проведении арифметических операций выполняются следующие правила.

Пусть известны два приближенных числа x, y и их предельные погрешности и . Тем самым

,

где x* и y* - неизвестные точные значения приближенных чисел x и y.

Тогда

1) погрешность при сложении и вычитании (z=xy)

,

т.е.

; (1.3.5)

2) при умножении

.

Данное неравенство не может служить оценкой погрешности, так как в правую часть входит неизвестная величина x*. Но поскольку оценка погрешности может проводиться приближенно, заменим в правой части x* на x, пренебрегая малой "второго порядка" .

В этом случае

.

Относительная погрешность

.

3) При делении (z=x/y, )

.

Относительная погрешность

.

Таким образом, для относительных погрешностей:

. (1.3.6)

Отсюда следует, что при возведении в целую степень

.

Отметим, что правила (1.3.6) справедливы, только если погрешности .

В настоящее время активно развивается подход, свободный от каких-либо допущений. При этом переменные задаются интервалом

x[x_min, x_max], y[y_min, y_max].

Тогда

x+y[x_min+y_min, x_max+y_max],

x-y[x_min-y_max, x_max-y_min],

xy[min{x_miny_min, x_maxy_min, x_miny_max, x_maxy_max},

max{x_miny_min, x_maxy_min, x_miny_max, x_maxy_max}].

Сложность последнего соотношения объясняется тем, что границы интервалов могут иметь разные знаки.

Аналогично получаются интервалы для операций деления и возведения в целую степень.

Разрабатываются алгоритмы, позволяющие по любому интервалу x[x_min, x_max] аргумента функции y=f(x) построить интервал возможных значений функции y[y_min, y_max].

Указанные принципы составляют базу вычислительного аппарата интервальной математики, позволяющего проводить доказательные вычисления, гарантирующие вхождение результата вычислений в определенный интервал.

10