1.2. Классификация погрешностей

1) Погрешность математического моделирования

Любое исследование процессов с помощью компьютера невозможно без представления свойств исследуемого объекта или процесса в виде математической модели: набора формул, уравнений, числовых параметров.

Любая математическая модель является приближенной, поскольку невозможно адекватно отразить все свойства реального объекта (прежде всего, поскольку этих свойств бесконечно много).

Но целью математического моделирования и не является отражение всех свойств. Моделью придется пользоваться, а значит, она должна быть достаточно простой.

Создания приемлемой модели есть цель исследований в предметных областях.

Цель данного предмета - научиться решать математические задачи на основе уже разработанных моделей. Поэтому в дальнейшем, помня о существовании такой погрешности, оценивать ее мы не будем.

2) Погрешность исходных данных

Если мы используем данные, полученные с помощью каких-нибудь измерительных приборов, то величина погрешности данных определяется классом точности прибора.

Если не используются числа, полученные путем измерений, то погрешности этого типа порождаются ограниченной разрядностью представления чисел в ЭВМ.

Рассмотрим некоторое число A=0.314159265310¹ в машинном представлении с плавающей точкой

Знак числа	Мантисса (M разрядов)							Порядок p
+	3	1	4	1	5	9	2	+			01
								6	5	3

Последние цифры (6,5,3), не умещаются в M разрядов и теряются. В худшем случае все потерянные цифры равны 9. Следовательно, погрешность не превышает единицу последнего разряда

. (1.2.1)

Относительная погрешность

. (1.2.2)

Здесь использовано правило записи числа в нормализованном виде: среди множества способов записи числа с плавающей точкой выбирается тот, при котором старшая значащая цифра располагается непосредственно за точкой (этим минимизируется объем памяти, необходимый для записи числа, так как не нужно хранить незначащие нули и позицию точки).

Отметим, что в компьютерах используется двоичная система счисления, поэтому на самом деле

,

где M₂ - количество двоичных разрядов в мантиссе. Мы используем десятичную систему только для наглядности.

3) Погрешность округления при проведении арифметических операций

При сложении и вычитании двух чисел AB разного порядка

A

+

2

3

5

4

8

6

8

+

02



B

+

3

8

9

5

9

7

3



01

производится выравнивание порядков операндов по большему:

B	+	0	0	0	3	8	9	5	+			02
									9	7	3

При этом последние разряды меньшего по порядку числа теряются и возникает погрешность, которая оценивается аналогично (1.2.1) , где в качестве p используется порядок большего по модулю числа. Относительная погрешность

. (1.2.3)

Если порядки чисел A и B различаются, то дробь в правой части (1.2.3) близка к 1 и оценка (1.2.3) практически совпадает с (1.2.2). Тогда абсолютная погрешность

. (1.2.4)

Рассмотрим теперь пример вычитания двух близких чисел:

A

+

2

3

5

4

8

6

8

+

02



B

+

2

3

5

4

8

5

6

+

02

=

A-B

+

0

0

0

0

0

1

2

+

02

Результат операции, преобразованный в нормализованную форму:

A-B

+

1

2

0

0

0

0

0



03

Пять нулей, записанные после цифр результата операции введены произвольно. Поскольку каждое число A и B могло быть усечено, то вместо нулей на самом деле могли бы стоять любые цифры, в том числе и девятки.

Формула (1.2.3) дает реальную оценку и в этом случае, хотя выравнивания порядков не производится. Причиной погрешности результата операции при этом является погрешность исходных данных.