KIR12-18

12-ÔÍ

Отметим, что замкнутая ортогональная система всегда полна, так как полнота вытекает из условия

представимости любой функции рядом Фурье, равносильного замкнутости системы. В определенных

евклидовых пространствах понятия замкнутости и полноты совпадают, т.е. полнота ортогональной

системы в таком пространстве означает и ее замкнутость.

,

. . ε > 0 N n, m > N

этого ряда по норме

P

Пусть f R[a, b] и

αifi — ее ряд Фурье. Тогда последовательность

Sn(f) частичных сумм

евклидова пространства является фундаментальной т е

kSn(f) − Sm(f)k < ε. Действительно,

kSn(f) − Sm(f)k2 =

2

=

αi2

,

ÌÃÒÓ

m

αifi

m

i=n+1

i=n+1

X

X

2

из сходимости ряда

αi .

и фундаментальность {Sn(f)} по норме следует

что фун

Критерий Коши утверждает

Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна.

P

,

-

даментальная числовая последовательность сходится.

Это утверждение легко распространяется на

12

произвольные конечномерные евклидовы пространства, так как сходимость в конечномерном про-

странстве равносильна сходимости по координатам в фиксированном базисе. Однако в произвольном

бесконечномерном пространстве фундаментальность уже не означает сходимость.

-

Евклидово пространство называют полным, если в этом пространстве любая фундаментальная

последовательность сходится. Любое конечномерное евклидово пространство является полным. Беско-

ÔÍ

нечномерное полное евклидово пространство называют

гильбертовым. Рассмотренное ранее прост-

g = f − f0. Тогда

f

является и рядом Фурье своей суммы

f0

, . .

f, ϕn =

f0

, ϕn .

Положим

этом ряд Фурье элемента

т е

Тригонометрической системой называют систему функций 1, cos

πx

, sin

πx

, . . .,

cos

nπx

,

l

l

l

nπx

sin

, . . . , рассматриваемую на отрезке [−l, l].

Эта система ортогональна,

но не является орто-

l

нормированной:

cos

nπx

2

sin

nπx

2

k1k2 = 2l,

l

=

l

= l.

f

a

∞

nπx

+ bn sin

nπx

,

20 + n=1 an cos

l

l

X

ÌÃÒÓ

l

l

an = l

Z

f(x) cos l dx,

n = 0, 1, . . . ,

bn

= l

Z

f(x) sin l dx, n = 1, 2, . . .

1

nπx

1

nπx

−l

−l

Неравенство Бесселя в данном случае имеет вид

a2

∞

1

l

Z f

0

+ n=1(an2 + bn2 ) 6

2(x) dx

2

l

12

X

−l

и фактически является равенством (равенством Парсеваля) в силу свойства замкнутости.

-

∞ cos nx

ÔÍ

nP

рядом Фурье какой-либо функции?

√n

Задача. Является ли ряд

=1

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

a0

∞

nπx

+ bn sin

nπx

.

(17.1)

+ n=1 an cos

l

l

X

l

l

2

= Z

2

dx 6 Z

sup

2

2

sup

2

Sn(x) − S(x)

dx = 4l

Sn(x) − S(x) .

kSn(x) − S(x)k2

x

[

−

l,l] Sn(x) − S(x)

x

[

−

l,l]

−l

−l

Следовательно,

kSn(x) − S(x)k2

6 2l x [−l,l] Sn(x) − S(x) .

sup

ÔÍ-12

то ряд Фурье (17.1) сходится равномерно. Это вытекает непосредственно из признака Вейерштрасса

равномерной сходимости функционального ряда, так как

nπx

nπx

6 |an| + |bn|, n = 1, 2, . . .

an cos l + bn cos l

17.2. Порядок малости коэффициентов и дифференцируемость

ÌÃÒÓ

Теорема 17.2. Если

1

1

an = O

, bn = O

,

np+ε

np+ε

где p — натуральное число, то ряд (17.1) сходится на отрезке [−l, l] к функции f(x), имеющей p − 1

непрерывную производную.

J Условия теоремы позволяют применить последовательно p − 1 раз теорему о почленном диф-

ференцировании функционального ряда.

При каждом дифференцировании мы получаем равномерно

-12

сходящийся ряд, что означает законность почленного дифференцирования.

Последнее (p − 1)-е диф-

ференцирование дает равномерно сходящийся ряд, сумма которого является непрерывной функцией.

Эта сумма есть (p − 1)-я производная суммы исходного ряда.

I

Отметим,

что сумма тригонометрического ряда, сходящегося поточечно на отрезке [−l, l], есть

ÔÍ

периодическая с периодом 2l функция, так как все члены ряда имеют период 2l, а сходимость будет на

всей числовой оси. Поэтому, например, функция f(x) = x, рассматриваемая на отрезке [−l, l], несмотря

на всю свою гладкость, не может быть суммой своего ряда Фурье на всем отрезке.

Действительно,

сумма ряда Фурье этой функции есть периодическая функция S(x), которая удовлетворяет условию

ÌÃÒÓ

S(−l) = S(l). Но f(l) 6= f(−l).

Итак, говоря о представимости функции своим рядом Фурье, мы должны предполагать либо пе-

риодичность функции, либо равенство значений функции на концах отрезка.

Последнее позволяет

продолжить функцию как периодическую на всю числовую ось. Отметим,

что изменение функции

в одной или конечном числе точек не повлияет на ее ряд Фурье, так как коэффициенты этого ряда

выражаются интегралами. Поэтому на самом деле мы всегда можем считать выполненным условие пе-

риодичности, изменяя, если нужно, значения функции на концах отрезка. Но при этом периодическое

продолжение функции может оказаться разрывным в точках (2k + 1)l, где k — любое целое.

12-

Теорема 17.3. Если периодическая с периодом 2l функция f(x) имеет непрерывную (p−1)-ю про-

1

1

изводную, являющуюся кусочно непрерывно дифференцируемой функцией, то для ее коэффициентов

Фурье верны соотношения

an = O

, bn = O

.

ÔÍ

np

np

J Из формул Эйлера — Фурье, используя дифференцируемость функции и формулу интегрирова-

ния по частям, получаем для n = 1, 2, . . .

l

l

dx =

l

f(x) d sin

l

=

an = l Z f(x) cos

nπ Z

ÌÃÒÓ

1

nπx

1

nπx

−l

−l

−

l

−

l

= nπ f(x) sin

l

−l

f0

(x) sin

l

l

dx = −nπ bn(1),

− nπ Z

dx = −nπ Z f0(x) sin

1

nπx

l

1

nπx

1

nπx

l

l

l

ÔÍ-12

где bn(1) — синус-коэффициент функции f0(x). Аналогично

Z

l

cn = ±(nπ)p cn(p)

bn

= l

f(x) sin

l

dx = nπ an(1),

n = 1, 2, . . .

1

nπx

l

ÔÍ-12

X

где символ c использован для общего обозначения коэффициентов, cn(p) обозначает соответствующий

коэффициент Фурье функции f(p)(x), являющейся кусочно непрерывной функцией. Для такой функции,

согласно неравенству Бесселя,

∞

|an(p)|2 + |bn(p)|2 < +∞.

n=1

Поэтому |cn(p)| 6 M < +∞ как сходящаяся к нулю последовательность, а для коэффициентов an и bn

ÌÃÒÓ

получаем нужное соотношение.

I

:

an, bn = O np ,

p 2

17.1. p

1

Замечание

Две доказанные теоремы имеют зазор в две единицы

если

1

то

f C − , а если f C , то an, bn = O

. Этот зазор, к сожалению, неустраним. Однако примеры,

np

подтверждающие этот тезис,

построить непросто

.

Мы их приводить не будем

.

Тем не менее, на практике эти две теоремы позволяют судить о порядке малости коэффициентов

Фурье по виду функции. Пусть функция f(x) кусочно непрерывна, причем всюду имеет кусочно не-

12

прерывные производные первого и второго порядка (в точках разрыва односторонние производные2).

Тогда функцию можно представить в виде f(x) = f0(x) + l(x), где f0(x) — дважды непрерывно диф-

ференцируема, а l(x) кусочно линейная функция, которая, возможно, имеет разрывы первого рода.

Коэффициенты Фурье функции f0(x), согласно теореме 18.3,

имеют порядок 1/n2, в то время как

-

ÔÍ

порядок коэффициентов Фурье функции l(x) равен 1/n (это проверяется непосредственно).

Значит,

функция f(x) имеет коэффициенты Фурье порядка 1/n.

Если функция f(x) имеет непрерывную производную (с учетом условия периодичности), а вторая

производная кусочно непрерывна, то коэффициенты Фурье будут иметь порядок малости 1/n2.

ÌÃÒÓ

Замечание 17.2. Доказанных теорем достаточно, чтобы обосновать замкнутость тригонометри-

l f(x) dx

m

f(ξk) xk < ε.

ческой системы в евклидовом пространстве

R[−l, l]

и его пополнении. В самом деле, интеграл любой

интегрируемой функции аппроксимируется своей интегральной суммой, т.е. для любого ε можно вы-

брать разбиение отрезка так, что

Z

− k=1

l

X

−

12-

f(ξ2), x1

Но указанная интегральная сумма может

< x 6 x2

;

рассматриваться как

интеграл кусочно постоянной функции

f(x) =

f(ξ1), x0 6 x 6 x1;

. . . . . . . . . . . .

ÔÍ

e

f(ξn), xn 1 < x 6 xn.

−

l

f(x) dx

l

f(x) dx

=

l

f(x)

−

f(x) dx

=

l

f(x)

−

f(x) dx < ε.

Z

− Z

Z

Z

l

−

l

e

l

e

−

l

−

−

e

Но тогда

l

f(x) − f(x)

dx 6

[−l,l]

−

l

−

6

Z

2

Z

l

f(x)

f(x)

l

f(x)

f(x)

dx 2Mε,

−

e

max

−

e

e

ÔÍ12-

Любая кусочно постоянная функция есть линейная комбинация функций вида

g(x) =

(0, x / [α, β],

1, x

[α, β],

где −l 6 α 6 β 6 l. Но любую подобного вида функцию можно изменить в малой окрестности точек α и

β так, что получится бесконечнодифференцируемая функция (рис. 17.1). При этом разность исходной

ÌÃÒÓ

и модифицированной функций может быть сколь угодно мала по норме.

y

x

−l

l

Рис. 17.1

12

Бесконечнодифференцируемая функция есть сумма своего ряда Фурье, как следует из теорем 18.1

и 18.3. Значит, ее можно аппроксимировать частичными суммами ряда Фурье, являющимися линей-

ными комбинациями тригонометрической системы.

-

Итак, получилась цепочка последовательных приближений (рис. 17.2).

ÔÍ

R[a,b]

кусочно

Ñ1[a,b]

тригоном.

ïîñò.

система

Рис. 17.2

ÌÃÒÓ

17.3. Условия сходимости ряда Фурье в точке

Частичные суммы можно представить в интегральной форме, если в соответствующую сумму

вместо коэффициентов Фурье подставить их выражения по формулам Эйлера — Фурье.

Для упрощения рассмотрим частный случай l = π. В сумму

12

a0

N

SN (f) =

X

2

+

(ak cos kx + bk sin kx)

-

k=1

подставим интегральные формулы для коэффициентов. Получим

ÔÍ

SN (f) = 2π

Z

f(t) dt + π k=1

cos kx Z

f(x) cos kt dt + sin kx Z

f(x) sin kt dt

=

1

π

1

N

π

π

−π

X

−π

−π

1

π

1

N

π

=

Z

f(t) dt +

k=1 Z

f(x) cos kx cos kt + sin kx sin kt

dt =