KIR12-18

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Математическое моделирование»

ÌÃÒÓ

А.Н. Канатников

-12

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ÔÍ

È ÐßÄÛ

ÌÃÒÓ

Конспект лекций

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÌÃÒÓ

ÔÍ-12

ÔÍ-12

Лекция 12

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

ÌÃÒÓ

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Свойства сходящихся числовых рядов : сложение и вычитание рядов, умножение ряда на число,

принцип отбрасывания (теорема об остатке ряда). Знакоположительные числовые ряды и признаки

их сходимости: признаки сравнения; признак Даламбера; признак Коши (радикальный). Интеграль-

ный признак Коши и ряды Дирихле.

12.1. Основные понятия

∞

a1 + a2 + . . . + an + . . . или

X

(12.1)

ak

n→∞

n

! .

ak

S = lim

X

k=1

Между последовательностями и рядами существует тесная связь Каждый ряд a генерирует

специальную последовательность — последовательность своих частичных.

сумм {Sn}P. Вkто же время

функция, определенная на натуральных числах).

В этом случае определяющую формулу называют

общим членом ряда. Например:

ряд

общий член

∞

1

1

X

an=

n

n=1

n

∞

X

(−1)n

an= (−1)n

ÔÍ-12

соседних членов постоянно: an+1/an

Sn = c

qk = c1 − qn+1 .

= const.

Несложно убедиться, что общий член такого ряда за-

дается формулой an = cqn. Параметр q определяет отношение двух соседних членов прогрессии и

называется ее знаменателем. Параметр c представляет собой значение ”нулевого“ слагаемого (пер-

вого члена ряда, если этот ряд нумеровать с нуля). n-я частичная сумма прогресии вычисляется

n

X

1

−

q

ÌÃÒÓ

k=1

Исходя из этой формулы,

делаем вывод, что указанный ряд сходится при |q| < 1

и расходится при

|q| > 1. При этом его суммой является

∞

−

X

cqn

=

c

.

n=0

1

q

Теорема 12.1 (Необходимый признак сходимости). Если ряд (12.1) сходится, то

lim an = 0.

J Ряд сходится, если существует предел частичных сумм

lim Sn = S. Но тогда

n→∞

-12

n→∞

nlim an

= nlim (Sn − Sn−1) = nlim Sn − nlim Sn−1 = 0.

I

→∞

→∞

→∞

→∞

ÔÍ

12.2. Ряд P(−1)

Пример

n

расходится, так как последовательность его членов {(−1)

n

} не имеет

предела.

ÌÃÒÓ

Пример 12.3. Необходимый признак сходимости рядов не является достаточным.

Например, ряд

∞

1

X

,

n=1

n

называемый гармоническим, расходится. Действительно, для частичных сумм

1

1

> Sn +

1

1

1

S2n = Sn +

+ . . . +

+ . . . +

= Sn

+

.

12-

n + 1

2n

2n

2n

2

Поэтому, если n = 2p, то Sn > p/2. Последовательность частичных сумм не имеет конечного предела,

т.е. ряд расходится. В то же время необходимый признак выполняется.

ÔÍ

Теорема 12.2 (об остатке). Если ряд a1 +. . .+ak +. . . сходится, то и ряд ak +ak+1 +. . . сходится.

Обратно, из сходимости второго ряда следует сходимость первого.

Ряд, полученный выбрасыванием из данного ряда первых слагаемых, называют остатком ис-

ходного. Последовательность Sn частичных сумм исходного ряда и последовательность Sl0 его остатка,

полученного отбрасыванием первых k слагаемых,

l

k+l −

S

k

.

При l

→ ∞

связаны соотношением: S0 = S

ÌÃÒÓ

обе части равенства имеют один и тот же предел или не имеют его одновременно.

P

12.2. Операции над рядами

Произведением ряда

n

n

n

an на число λ называют ряд,

полученный умножением каждого чле-

(an + bn).

P

P P

называют ряд

на исходного ряда на число λ,

т.е. ряд (λa ).

Суммой двух рядов

a

и

b

12-ÔÍ

P Теорема 12.3. При умножении ряда на число его сумма умножается на число.

При сложении

двух рядов их суммы складываются:

X(an + bn) = X an + X bn.

X(λan) = λ X an.

Сформулированное утверждение дает обобщение обычных правил операции над числовыми вы-

ражениями:

свойства коммутативности и дистрибутивности.

Чтобы доказать утверждение, нужно

P

P:

P

A =

an и B =

bn является ряд (an − bn). Очевидно, что суммой разности двух рядов является

an 6 bn, n = 1, ∞.

B

,

A

P

. Если

P A

Теорема 12.4 (1-й признак сравнения). Пусть знакоположительные ряды A =

an и B = bn

удовлетворяют условию

Если ряд

сходится то и ряд

сходится

ряд

расходится, то и ряд B расходится.

Замечание. Если для рядов A =

an и B =

bn выполняется условие an 6 bn, n = 1, ∞,

то мы будем обозначать это неравенством: A 6 B.

В этом случае говорят, что ряд B является

мажорирующим или мажорантой для A.

Следствие 12.1 (2-й признак сравнения). Пусть для знакоположительных рядов A =

P an

и

P

lim an = c.

B = bn существует конечный ненулевой предел

an

an

0 < c1 6 lim

6 lim

6 c2 < ∞.

bn

bn

Следствие 12.2 (3-й признак сравнения).

Если

an bn

при

n → ∞,

то ряды

A = P an

и

P

B = bn сходятся или расходятся одновременно.

∞

1

X

√n2

−

n + 1

n=1

расходится, так как

1

1

√

, n → ∞.

n

n2 − n + 1

нения с одним из известных. Однако ограничиться сравнением лишь с одним ”универсальным“ рядом

не удастся.

Теорема 12.5. Для любого сходящегося ряда

an существует сходящийся ряд bn, для которого

an = o(bn)

при

n → ∞.

Для любого расходящегося ряда

cn

существует расходящийся ряд

dn,

для

P

P

которого dn = o(cn) при n → ∞.

P

P

J Пусть P an сходится. Положим

∞

An =

ak,

n = 1, 2, . . .

=n+1

k X

bn = p

− p

,

n = 1, 2, . . .

Тогда lim An = 0 и

An

An+1

n→∞

n

k=1

bk =

A1

− An+1 → A1,

при n → ∞,

X

p

p

p

При этом при

n → ∞

т.е. ряд P bn сходится√.

√

n

A

n+1

1

bn

=

A

−

=

→ ∞

.

an

An − An+1

√An + √

An+1

где an > 0, n = 1, 2, . . ., то:

• при q < 1 ряд

P,

an сходится;

q0, q < q0 < 1,

,

,

J Если q < 1,

• при q > 1 ряд

P an расходится.

то выбрав произвольное число

заключаем

что

начиная с некоторого

< q0.

Но тогда an < (q0)

n

, т.е. исходный ряд мажорируется геометрической прогрессией

n

номера, √an

со знаменателем q0 < 1 а потому сходится.

Если q > 1, то,

n

начиная с некоторого номера √an > 1 или an > 1, откуда следует, что не выполня-

12.7 (

). Если

P

I

ется необходимый признак сходимости рядов. Поэтому ряд an расходится.

Теорема

признак Даламбера

существует предел

lim

an+1

= q,

an

где an > 0, n = 1, 2, . . ., то:

• при q < 1 ряд

P

an сходится;

• при q > 1 ряд P an расходится.

ÔÍ-12

n=1 1 − n

Доказательство этого признака строится по той же схеме, что и для признака Коши, его предла-

гается освоить самостоятельно.

Пример.

Ряд

∞

1

n2

сходится, так как по признаку Коши

X

ÌÃÒÓ

1

n

1

n→∞

√an

= n→∞ 1 − n

= e

< 1.

Ряд

lim

n

lim

∞

n!

X

n=1

nn

12-

также сходится, так как по признаку Даламбера

n

an

n

(n + 1)n

lim

1 + 1

n

e

an+1

nn

1

1

lim

= lim

=

n

=

< 1.

ÔÍ

→∞

→∞

n→∞

Теорема

12.8 (признак Коши интегральный). Пусть функция f(x) определена на промежутке

[0, +∞), неотрицательна и монотонно убывает на этом промежутке. Тогда несобственный интеграл

+∞

∞

R

P

ÌÃÒÓ

f(x) dx и ряд

f(n) сходятся или расходятся одновременно.

0

n=1

J В силу монотонности функции f(x) для любого натурального числа n имеем неравенства

f(n + 1) 6 Znn+1 f(x) dx 6 f(n).

Складывая эти неравенства для различных значений n, получаем

12

N

N−1

N−1

n+1

N

f(x) dx

n=1 f(n) =

n=0 f(n + 1) 6 n=0

Zn

f(x) dx = Z0

-

X

X

X

и

ÔÍ

Z1

f(x) dx =

n=1

Zn

f(x) dx 6 n=1 f(n).

N

N−1

n+1

N

−1

∞

X

X

Если ряд

f(n) сходится, то его частичные суммы ограничены.

Значит, для некоторого числа M

ÌÃÒÓ

n=1

верно

неравенство

P

Z1N f(x) dx 6 M.

x

Таким образом, функция F (x) = f(x) dx монотонно возрастает, так как подынтегральная функция

1

→

∞

неотрицательна,

причем F (N)

6

F (x) ограничена и имеет предел при x

RM. Значит,

+ . Но

∞

∞

R

12-ÔÍ

существование предела равносильно сходимости несобственного интеграла f(x) dx.

R

1

x

N

Если сходится несобственный интеграл

f(x) dx, то функция,

определенная равенством F (x) =

R

1

P

ограничена.

∞

= f(x) dx,

Значит, ограничена последовательность частичных сумм SN =

f(n),

0

nP

n=1

f(n). I

чтио равносильно сходимости знакоположительного ряда

=1