лекции / Лекция 10 по ИТ_Сложение чисел с разными знаками. ПК ОК и ДК

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

10.Машинная арифметика

10.1.Особенности сложения на двоичном сумматоре чисел с разными знаками

вмашинных кодах

Счислами в двоичной системе счисления мы можем выполнять любые арифметические действия, никаких проблем.

Авот с машинными кодами нет! Тут мы жестко ограничены возможностями аппаратуры.

Авозможности аппаратуры таковы: в состав арифметико-логического устройства (АЛУ) для выполнения вычислительных операций входит весьма ограниченный круг устройств: сумматор, инвертор и регистры разного назначения и определенной размерности, например регистры для хранения

иобработки чисел, для хранения промежуточных результатов вычислений,

для хранения результата вычисления и отдельно регистры сдвига кода влево и регистры сдвига кода вправо.

Регистры являются по сути ячейками временной мини-памяти, состоят регистры из триггеров. Каждый триггер может содержать одну единицу информации: или «нолик» или «единичку», т.к. триггер это бистабильное устройство и может длительно находиться в одном из двух устойчивых состояний (есть электрический сигнал – значит «единичка»/нет электрического сигнала – значит «нолик»). Наиважнейшей характеристикой регистра является его разрядность, т.е. сколько в нём физически содержится триггеров. Кроме этого, важен порядок записи машинного кода в регистр,

(порядок и количество отведенных разрядов (триггеров) под разные части кода числа, определяется программной интерпретацией). Обе эти характеристики регистра задаются с помощью описания его разрядной сетки,

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

которая как раз и отражает и количество разрядов и их назначение. Поэтому,

прежде чем приступить к выполнению арифметических действий над машинными кодами чисел, т.е. действий, имитирующих работу АЛУ, первое,

что следует сделать это представить условно-графическое изображение разрядной сетки регистров имеющегося технического устройства.

Подытоживая вышесказанное, такая аппаратура умеет инвертировать,

суммировать и сдвигать влево и вправо содержимое регистров. Причем,

сдвиги в регистрах могут быть как линейными (с выталкиванием и потерей содержимого крайнего разряда), так и кольцевыми, когда содержимое крайнего разряда при выталкивании записывается с противоположного конца

регистра.

И приемы работы машинной арифметики в ЭВМ, машинные коды и

алгоритмы работы с ними подчиняются возможностям аппаратуры.

Выполнение арифметических операций над числами с разными знаками представляется для аппаратной части довольно сложной процедурой. В этом случае нужно определить большее по модулю число,

произвести вычитание и присвоить разности знак большего по модулю числа.

Задача усложняется еще больше, если учесть, что вычислительная техника отказалась от множества технических устройств для выполнения

арифметических операций в пользу всего одного устройства – сумматора.

Следовательно, ничего другого не остается, как только свести все арифметические операции к операции сложения. Чисто математически в этом нет ничего сложного. Скажем, операция умножения может быть заменена на операцию многократного сложения, операция вычитания – на операцию сложения с отрицаемым слагаемым, а операция деления – на операцию

многократного сложения с отрицаемым слагаемым.

Итак, А – В = А + (–В).

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

Теперь весь вопрос в том, как это отрицаемое слагаемое представить в виде машинного кода. И это вполне возможно сделать, используя некий искусственный приём для преобразования обычного (прямого) кода отрицательного числа сначала в инверсный код, называемый обратным, а

потом и в дополнительный код, путем прибавления к обратному коду единицы.

10.2. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды

Применение дополнительного кода позволяет выполнить операцию алгебраического суммирования и вычитания на обычном сумматоре. При этом не требуется определения модуля и знака числа.

Прямой код (далее ПК) представляет собой одинаковое представление значимой части числа для положительных и отрицательных чисел и отличается только знаковым битом.

Число «0» в прямом машинном коде имеет два представления «+0» и «–0». На первый взгляд это кажется нелогичным, но и здесь всё объясняется особенностями аппаратуры. Поскольку как минимум один разряд регистра отводится под знак, а по своей физической сути любой разряд регистра представляет собой триггер, т.е. биполярное устройство, то логично, что он всегда будет находиться в одном из своих устойчивых состояний, а значит в нём всегда будет находиться или нолик или единичка, вне зависимости от содержимого значащей части кода. И даже, если в значащей части кода в результате вычислений окажутся только нули, то это еще не означает, что в знаковой части кода в этот же момент тоже будет записан именно «нолик» –

код положительного числа, там вполне может оказаться записана «единичка»

– код отрицательного числа.

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

Таким образом, приведенная выше ситуация вполне может иметь следующую реализацию в регистрах (рисунок 10.1, 10.2):

Рисунок 10.2 – Код отрицательного ноля

Обратный код (далее ОК) для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, поскольку никакие преобразования положительному числу по сути не требуется. А вот отрицательному числу, выступающему в роли отрицаемого слагаемого, такие преобразования совершенно необходимы.

Обратный код отрицательного числа – это инверсный код, т.е.

содержимое всех триггеров значащей части регистра меняется на противоположное и выполняется это через аппаратную или программную реализацию функции инверсии кода – условный «инвертор», далее для простоты – просто инвертор). Инвертор изменяет код на противоположный и нужен он для того, чтобы получать обратный код, причем как из прямого кода, так и из дополнительного.

Неважно, какой тип кода Вы проинвертируете, всё равно полученный код будет называться обратным.

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

В обратном коде число «0» также имеет два представления «+0» и

«– 0».

Дополнительный код (далее ДК) для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, а для отрицательных чисел образуется путем прибавления кода «единицы» к обратному коду. Добавление единицы к обратному коду числа «ноль» дает единое представление числа «0» в

дополнительном коде. Однако это приводит к асимметрии диапазонов представления чисел относительно нуля. Так, в восьмиразрядном представлении диапазон изменения чисел с учетом знака.

–128 <= x <= 127

Итак, подытоживая сказанное, хочется отметить, что при преобразовании прямого машинного кода отрицательного числа

(отрицаемого слагаемого) в обратный и дополнительный коды:

1.Знак не инвертируется при переводе в обратный код (инвертор не обрабатывает содержимое этого триггера регистра);

2.При переводе из ОК1 в ДК и из ОК2 в ПК знаки участвуют в операции сложения (сумматор обрабатывает содержимое знакового разряда как значащий).

Пример последовательного преобразования прямого машинного кода

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

Схема преобразования кодов работает в обе стороны:

ПК→ инверсия = ОК1→(+1) = ДК→ инверсия = ОК2→(+1) = ПК ДК→ инверсия = ОК2→(+1) = ПК→ инверсия = ОК1→(+1) = ДК,

причем ОК1 и ОК2 — разные коды, так как образуются от инверсии также разных кодов, но тем не менее и тот и другой называются обратными.

Таблица прямого, обратного и дополнительного кода 4-битных чисел

Из данной таблицы хорошо видно что для положительных чисел

прямой код равен обратному и равен дополнительному ПК+=ОК+=ДК+

А еще из части таблицы, содержащей отрицательные числа, видно, что прямой код в сумме с дополнительным, всё время даёт одно и то же число, в

данном случае, при 4-х разрядной сетке, это число 8. Это число – константа,

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

представляет собой число со степенью на 1 больше, чем величина старшей степени двойки в данной 4-х разрядной сетке, т.е. 23=8.

Получается, что дополнительный код называется дополнительным,

поскольку дополняет прямой код до некой константы, в данной 4-х

разрядной сетке до восьми.

Давайте посмотрим, каким будет дополнительный код этих же чисел,

но вписанных в другую по размеру разрядную сетку, скажем в 5-ти разрядную.

Таблица прямого, обратного и дополнительного кода 5-битных чисел

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Блок 2: «Аппаратная реализация арифметических операций над числами,

представленными в машинных кодах» Лекция № 10 Тема 2.4: «Машинная арифметика. Сложение на двоичном сумматоре

чисел с разными знаками в машинных кодах. Прямой, обратный и дополнительный машинные коды»

ДК А: 1 1101001

ОК А: 1 0010110

+ 0 0000001

ПК А: 1 0010111 (2310) (получили ДК путём сложения ОК с единицей)

Ответ: результат некорректный, при этом данный факт машиной не определяется.

Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения

Ответ: ПК С: 1 011

Ответ: результат некорректный, при этом данный факт машиной не определяется

Здесь мы снова получили некорректный результат, но применяемый и алгоритм не позволяет диагностировать проблему переполнения разрядной сетки.