лекции / Лекция 2 по ИТ для очников Представление чисел в ПСС_2022

6	Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения
	Лекция № 2	Блок 1: «Арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме»
		Тема 1.2: «Представление чисел в различных позиционных системах счисления. Смешанные системы счисления»
	Курс – 34 акад.часа	Выпуск 1	Изменение 0	Экземпляр № 1	Лист 6/6

1.2.1. Образование целых чисел в позиционных системах счисления

В любой позиционной системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры в ПСС называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 0, означает заменить её на 1, продвинуть 1 – означает заменить её на 2 и т.д.

Продвижение старшей цифры алфавита любой ПСС (например 9 в десятичной СС) означает замену её на 0.

Поскольку в двоичной ПСС используется всего две цифры 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 означает замену её на 0.

Целые числа в любой ПСС порождаются с помощью правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа (т.е. цифру самого младшего разряда). Если какая либо цифра после продвижения стала нулём, то нужно продвинуть ещё и цифру, стоящую слева от неё.

1.2.2. Системы счисления компьютера

В компьютере широко используются ПСС с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная с основанием 2, алфавит состоит из 2-х цифр (0, 1);

• восьмеричная с основанием 8 (2³), алфавит состоит из 8-ми цифр (0, 1, …, 7);

• шестнадцатеричная с основанием 16 (2⁴) алфавит состоит из 16-ти цифр (0, 1, …, 9, А, В, С, D, Е, F);

а также:

• десятичная система счисления

• двоично-десятичная смешанная система счисления.

Полезно запомнить запись в этих ПСС первых двух десятков целых чисел:

10-я	2-я	8-я	16-я	(2-10)-я	10-я	2-я	8-я	16-я	(2-10)-я
0	0	0	0	0000	10	1010	12	A	0001 0000
1	1	1	1	0001	11	1011	13	B	0001 0001
2	10	2	3	0010	12	1100	14	C	0001 0010
3	11	3	3	0011	13	1101	15	D	0001 0011
4	100	4	4	0100	14	1110	16	E	0001 0100
5	101	5	5	0101	15	1111	17	F	0001 0101
6	110	6	6	0110	16	10000	20	10	0001 0110
7	111	7	7	0111	17	10001	21	11	0001 0111
8	1000	10	8	1000	18	10010	22	12	0001 1000
9	1001	11	9	1001	19	10011	23	13	0001 1001

Из всех ПСС особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах именно двоичная система счисления.

Существует два способа записи кодов двоичных чисел в ЭВМ:

1. Арифметический (вначале записывается кодовая комбинация из одних нулей 0000, затем к каждой предыдущей строке прибавляется единица с организацией переноса в старшие разряды).

2. Формальный (вначале записывается столбец младшего разряда, в котором на каждой строке происходит смена нулей и единиц и в каждом последующем столбце частота смены единиц и нулей уменьшается вдвое).

Способ записи: «арифметический» «формальный»

0 0000 0000

1 0001 0001

2 0010 0010

3 0011 0011

4 0100 0100

5 0101 0101

6 0110 0110

7 0111 0111

8 1000 1000

9 1001 1001

10 1010 1010

11 1011 1011

12 1100 1100

13 1101 1101

14 1110 1110

15 1111 1111

1.2.3. Преимущества и недостатки двоичной системы счисления перед десятичной и любыми другими ПСС

Люди предпочитают десятичную СС, вероятно потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев на руках и ногах людей десять. Однако, были и исключения, например в Китае, долгое время в ходу была пятеричная система счисления.

А вот в компьютерах, использование машинных кодов, построенных на основе двоичной системы счисления, гораздо более предпочтительно, чем каких-либо других вариантов систем счислений, поскольку двоичная СС имеет ряд преимуществ перед ними:

1. для реализации двоичной СС нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть напряжение – нет напряжения, намагничен – не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как было бы с десятичной;

2. представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;

3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

4. двоичная арифметика намного проще десятичной.

К недостаткам двоичной СС перед десятичной СС можно отнести:

1. быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел;

2. двоичная СС непривычна и неудобна для восприятия человека.

1.2.4 Смешанные системы счисления. Система двоично-десятичной записи чисел

Говоря о системах счисления, которые используются в компьютерах и других вычислительных устройствах нельзя не упомянуть о ещё одной системе счисления – двоично-десятичной, которая является смешанной.

Смешанной называется такая система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием « p », изображаются с помощью цифр другой системы счисления « q ». Число в смешанной СС отмечается с помощью двойного подстрочного индекса « p–q.».

При этом в смешанной системе счисления во избежание разночтения для изображения каждой цифры системы с основанием « p » отводится одинаковое количество разрядов системы с основанием « q », достаточное для представления любой цифры системы с основанием « p ».

Разберем в чём состоит практическое обоснование использования двоично-десятичной СС в вычислительной технике.

Поскольку человек, в своей деятельности широко использует десятичную СС, а средства вычислительной техники используют машинные коды, основанные на двоичной СС и методы машинной двоичной арифметики, то был введен в практику компромиссный вариант – система двоично-десятичной записи чисел, которая, как правило, используется там, где присутствует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода (например, электронные часы, калькуляторы и т.д.). В подобных устройствах не всегда целесообразно применять универсальный микрокод перевода десятичных чисел в двоичные и обратно по причине малого объема программной памяти.

В некоторых типах ЭВМ в арифметико-логических устройствах (АЛУ) имеются специальные блоки десятичной арифметики, которые выполняют арифметические операции над числами, представленными в двоично-десятичном коде. Это позволяет в некоторых случаях существенно повысить производительности ЭВМ.

К примеру, в автоматизированной системе обработки данных используется большое количество чисел, а вычислений при этом немного. В подобном случае операции перевода чисел из одной системы счисления в другую существенно превысили бы время операций по обработке информации.

1.2.5. Принципы построения двоично-десятичной системы счисления

При построении двоично-десятичной системы счисления для изображения каждой десятичной цифры в ней отводится 4 двоичных разряда, поскольку максимальная цифра алфавита десятичной системы 910 кодируется как 10012

9 2 5

Например: 925₁₀ = 1001 0010 0101_2–10

В данной записи последовательные четверки двоичных разрядов (тетрады) изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно.

Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры 0 и 1, она отличается от двоичного изображения данного числа, т.к. десятичный эквивалент двоичного числа в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа.

Например: 100100100101₂ = 2341₁₀

100100100101_2-10 = 925₁₀

Такая двоично-десятичная запись числа довольно часто используется как промежуточный этап при переводе числа из десятичной системы в двоичную и обратно. Так как число 10 не является точной степенью числа 2, то используются не все 16 тетрад (тетрады, изображающие числа от A до F отбрасываются, так как эти числа считаются запрещенными), алгоритмы же арифметических операций над многозначными числами в этом случае более сложные, чем в основных системах счисления. И, тем не менее, двоично-десятичная система счисления используется даже на этом уровне во многих микрокалькуляторах и некоторых компьютерах.

1 2

Например: 12₁₀ → 0001 0010 _(2–10)

12₁₀ = С₁₆ →1100₂ Как мы видим, это не одно и то же.

12₁₆ ≠ 12_10, а при замене их на двоичные тетрады, числа получаются одинаковые, что, конечно же, не правильно.

12₁₆ ≠ 18₁₀ и у них будут разные двоичные тетрады.